Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 1.150,00 (alternativa D).

A ideia por trás

Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas. Aqui, as incógnitas são os preços unitários da carteira (c) e da lousa (l). Cada equação representa uma compra: a primeira diz que 20 carteiras mais 1 lousa custam R$ 9.700,00; a segunda, que 15 carteiras mais 2 lousas custam R$ 8.150,00. O objetivo é descobrir quanto custa 1 carteira e 1 lousa juntas, ou seja, c + l.

Para resolver, usamos o método da substituição: isolamos uma incógnita em uma equação e a substituímos na outra. Isso transforma o sistema em uma equação com uma só incógnita, que podemos resolver. Depois, voltamos para achar a outra incógnita. Esse método funciona porque as duas equações descrevem a mesma realidade (os preços são fixos), então os valores que satisfazem ambas são os preços procurados.

Nesta questão, o sistema é simples e o método da substituição é direto. Vamos isolar l na primeira equação e substituir na segunda para achar c, depois voltamos para achar l e finalmente somamos os dois preços.

O que a questão dá

• 20 carteiras + 1 lousa = R$ 9.700,00

• 15 carteiras + 2 lousas = R$ 8.150,00

O que queremos: o preço de 1 carteira + 1 lousa

Passo 1 — Montar as equações do sistema

Precisamos transformar as informações do enunciado em linguagem matemática. Cada compra vira uma equação, com as incógnitas c (preço da carteira) e l (preço da lousa).

Por que esta fórmula: Como cada carteira custa o mesmo preço c e cada lousa o mesmo preço l, o custo total é a soma dos produtos: quantidade × preço. Assim, a primeira compra dá 20c + 1l = 9700 e a segunda 15c + 2l = 8150.

De onde vem cada valor: $20c$ = enunciado: 20 carteiras · $l$ = enunciado: 1 lousa · $9700$ = enunciado: R$ 9.700,00 · $15c$ = enunciado: 15 carteiras · $2l$ = enunciado: 2 lousas · $8150$ = enunciado: R$ 8.150,00

Passo 2 — Isolar a lousa na primeira equação

Para usar o método da substituição, precisamos de uma equação com uma incógnita isolada. A primeira equação tem l com coeficiente 1, então é fácil isolá-la.

Por que esta fórmula: Isolamos l subtraindo 20c dos dois lados da equação, mantendo a igualdade.

De onde vem cada valor: $9700$ = passo 1: primeira equação · $20c$ = passo 1: termo com c

Passo 3 — Substituir a lousa na segunda equação

Agora que sabemos que l = 9700 - 20c, podemos trocar l na segunda equação por essa expressão. Isso cria uma equação só com c, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituímos l na segunda equação 15c + 2l = 8150 pela expressão encontrada, ficando 15c + 2(9700 - 20c) = 8150.

De onde vem cada valor: $15c$ = passo 1: segunda equação · $2$ = passo 1: coeficiente de l na segunda equação · $9700 - 20c$ = passo 2: expressão de l · $8150$ = passo 1: segunda equação

Passo 4 — Resolver a equação para achar o preço da carteira

Com a equação do passo anterior, podemos aplicar a propriedade distributiva e isolar c. Isso nos dá o preço unitário da carteira.

Por que esta fórmula: Primeiro distribuímos o 2: 15c + 19400 - 40c = 8150. Depois combinamos os termos com c: -25c + 19400 = 8150. Subtraímos 19400 dos dois lados: -25c = -11250. Dividimos por -25: c = 450.

De onde vem cada valor: $11250$ = passo 3: resultado de 8150 - 19400 (em módulo) · $25$ = passo 3: coeficiente de c após combinar termos

Passo 5 — Calcular o preço da lousa

Com o preço da carteira conhecido, voltamos à expressão de l para achar o preço da lousa.

Por que esta fórmula: Usamos a expressão l = 9700 - 20c, substituindo c por 450.

De onde vem cada valor: $9700$ = passo 2: expressão original · $20$ = passo 2: coeficiente de c · $450$ = passo 4: preço da carteira

Passo 6 — Somar os preços da carteira e da lousa

A pergunta final é quanto custa 1 carteira e 1 lousa juntas. Com os preços individuais, basta somá-los.

Por que esta fórmula: O custo total é a soma dos preços unitários: c + l.

De onde vem cada valor: $450$ = passo 4: preço da carteira · $700$ = passo 5: preço da lousa

R$ 1.150,00

Resposta: R$ 1.150,00 (alternativa D)