Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaProblemas
Código
vu075042
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Jaguariúna - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor Fiscal Tributário
Em uma empresa de grande porte, composta por uma matriz e uma filial, será feita uma grande admissão de funcionários: 150 funcionários para trabalharem na matriz e 60 funcionários para trabalharem na filial. Para a primeira semana de treinamento, todos esses novos funcionários serão divididos em grupos, todos contendo a mesma quantidade de funcionários, sendo que cada grupo terá x funcionários que trabalharão na matriz e y funcionários que trabalharão na filial. Se a quantidade de funcionários nos grupos tem que ser a menor possível, então, em cada grupo, a diferença x – y será igual a
  1. A2.
  2. B3.
  3. C4.
  4. D5.
  5. E6.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 3 (alternativa B).

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Ele representa a maior quantidade de grupos iguais que podemos formar com dois totais diferentes, garantindo que cada grupo tenha a mesma composição. Quando dividimos 150 e 60 pelo MDC, obtemos a quantidade de funcionários de cada tipo em um grupo, e essa quantidade é a menor possível porque o número de grupos é o maior possível. Nesta questão, precisamos encontrar o MDC entre 150 e 60 para determinar x e y, e então calcular a diferença.

O que a questão dá

  • 150 funcionários para a matriz

  • 60 funcionários para a filial

  • grupos com a mesma quantidade de funcionários

  • cada grupo com x da matriz e y da filial

  • quantidade de funcionários nos grupos deve ser a menor possível

O que queremos: a diferença x - y em cada grupo

Passo 1 — Decompor 150 em fatores primos

Para encontrar o MDC, precisamos fatorar cada número em seus fatores primos. Isso nos permite identificar os fatores comuns e seus menores expoentes.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é o primeiro passo para calcular o MDC, pois o MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente.

150=2×3×52150 = 2 \times 3 \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 150150 = enunciado: 150 funcionários para a matriz

150=2×3×52150 = 2 \times 3 \times 5^{2}
150=2 ×3×52150 = \boxed{2\ \times 3 \times 5^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 2, pois 150 é par.

Passo 2 — Decompor 60 em fatores primos

Precisamos da fatoração de 60 para comparar com a de 150 e extrair os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração de 60 segue o mesmo princípio: escrever 60 como produto de primos.

60=22×3×560 = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 6060 = enunciado: 60 funcionários para a filial

60=22×3×560 = 2^{2} \times 3 \times 5
60=2 2×3×560 = \boxed{2\ ^{2} \times 3 \times 5}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir os expoentes: 60 = 2² × 3 × 5, não 2 × 3 × 5.

Passo 3 — Calcular o MDC entre 150 e 60

Com as fatorações em mãos, o MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente. Isso nos dá o maior número de grupos iguais possível.

Por que esta fórmula: O MDC é definido como o produto dos fatores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente que aparece nas duas fatorações.

MDC(150,60)=21×31×51MDC(150, 60) = 2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1}

De onde vem cada valor: 212^{1} = passo 1: 150 tem 2^1; passo 2: 60 tem 2^2, menor expoente é 1 · 313^{1} = passo 1 e passo 2: ambos têm 3^1 · 515^{1} = passo 1: 150 tem 5^2; passo 2: 60 tem 5^1, menor expoente é 1

MDC=2×3×5=30MDC = 2 \times 3 \times 5 = \boxed{30}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria 2² × 3 × 5² = 300 (que é o MMC).

Passo 4 — Calcular x e y dividindo os totais pelo MDC

O MDC é o número de grupos. Dividindo o total de funcionários de cada tipo pelo número de grupos, obtemos quantos de cada tipo vão em cada grupo.

Por que esta fórmula: Se temos 30 grupos, cada grupo terá 150/30 = 5 da matriz e 60/30 = 2 da filial, pois a divisão exata garante que todos os grupos sejam idênticos.

x=15030,y=6030x = \frac{150}{30}, \quad y = \frac{60}{30}

De onde vem cada valor: 150150 = enunciado: 150 funcionários para a matriz · 6060 = enunciado: 60 funcionários para a filial · 3030 = passo 3: MDC = 30

x=15030=5,y=6030=2x = \frac{150}{30} = 5, \quad y = \frac{60}{30} = 2

x = 5, y = 2

NÃO CAIA NESSA!

Dividir ao contrário (30/150) ou usar o MMC (300) como divisor, o que daria frações.

Passo 5 — Calcular a diferença x - y

A questão pede a diferença entre a quantidade de funcionários da matriz e da filial em cada grupo. Com x e y conhecidos, basta subtrair.

Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente a subtração dos dois valores obtidos.

x−y=5−2x - y = 5 - 2

De onde vem cada valor: 55 = passo 4: x = 5 · 22 = passo 4: y = 2

x−y=5−2=3x - y = 5 - 2 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem (y - x) ou errar a subtração.

Resposta: 3 (alternativa B)

Link permanente: /questoes/vu075042