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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu075177
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Marília - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Contábil
Em 31 de agosto, em uma turma de alunos de medicina, cinco alunos tinham 19 anos, cinco tinham 20 anos, cinco tinham 21 anos e cinco tinham 22 anos. Se no dia 30 de setembro a média aritmética das idades desses 20 alunos era 20,9 anos, o número de alunos que fazem aniversário em setembro é
  1. A4.
  2. B5.
  3. C6.
  4. D7.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 8 alunos (letra E).

A ideia por trás

A média aritmética é o valor que representa um conjunto de números: somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de elementos. Ela indica o 'centro' dos dados. Quando um conjunto fixo de pessoas ganha anos (por aniversários), a soma das idades aumenta, e a média aumenta na mesma proporção dividida pelo número de pessoas. A relação fundamental é: variação da média × quantidade de elementos = variação total da soma. Nesta questão, a média subiu de 20,5 para 20,9, então a variação total da soma é 0,4 × 20 = 8 anos. Como cada aniversário adiciona exatamente 1 ano, o número de aniversariantes é 8.

O que a questão dá

  • 5 alunos com 19 anos

  • 5 alunos com 20 anos

  • 5 alunos com 21 anos

  • 5 alunos com 22 anos

  • média em 30 de setembro = 20,9 anos

O que queremos: o número de alunos que fazem aniversário em setembro

Passo 1 — Calcular a soma das idades em agosto

Precisamos saber a média em 31 de agosto para comparar com a média de setembro. A média é a soma dividida pelo número de alunos, então primeiro calculamos a soma.

Por que esta fórmula: A soma das idades é a soma de cada grupo: 5 alunos de 19, 5 de 20, etc. Multiplicamos a quantidade de cada idade pela idade e somamos.

Sago=5×19+5×20+5×21+5×22S_{ago} = 5 \times 19 + 5 \times 20 + 5 \times 21 + 5 \times 22

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: cinco alunos em cada idade · 19,20,21,2219, 20, 21, 22 = enunciado: idades dos alunos

Sago=5×19+5×20+5×21+5×22=95+100+105+110=410 anosS_{ago} = 5 \times 19 + 5 \times 20 + 5 \times 21 + 5 \times 22 = 95 + 100 + 105 + 110 = \boxed{410\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a quantidade pela idade, somando apenas as idades (19+20+21+22=82).

Passo 2 — Calcular a média em agosto

Com a soma total, dividimos pelo número de alunos para obter a média de agosto, que será comparada com a média de setembro.

Por que esta fórmula: A média aritmética é definida como a soma dos valores dividida pela quantidade de valores.

xˉago=Sago20\bar{x}_{ago} = \dfrac{S_{ago}}{20}

De onde vem cada valor: SagoS_{ago} = passo 1: 410 · 2020 = enunciado: total de alunos (5+5+5+5)

xˉago=41020=20,5 anos\bar{x}_{ago} = \dfrac{410}{20} = \boxed{20{,}5\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 4 (número de grupos) em vez de 20 (número de alunos).

Passo 3 — Calcular a diferença entre as médias

A diferença entre a média de setembro e a de agosto indica quanto a média aumentou por aluno, o que nos leva ao total de anos adicionados.

Por que esta fórmula: A variação da média é a subtração entre a média final e a inicial.

Δxˉ=xˉset−xˉago\Delta \bar{x} = \bar{x}_{set} - \bar{x}_{ago}

De onde vem cada valor: xˉset\bar{x}_{set} = enunciado: 20,9 anos · xˉago\bar{x}_{ago} = passo 2: 20,5 anos

Δxˉ=20,9−20,5=0,4 ano\Delta \bar{x} = 20{,}9 - 20{,}5 = \boxed{0{,}4\ \text{ano}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (20,5 - 20,9 = -0,4) e se confundir com o sinal.

Passo 4 — Calcular o total de anos adicionados

A variação da média é o aumento médio por aluno. Como são 20 alunos, multiplicamos para saber quantos anos foram somados ao total das idades.

Por que esta fórmula: A variação total da soma é igual à variação da média multiplicada pelo número de elementos, pois a média é a soma dividida pela quantidade.

ΔS=Δxˉ×20\Delta S = \Delta \bar{x} \times 20

De onde vem cada valor: Δxˉ\Delta \bar{x} = passo 3: 0,4 · 2020 = enunciado: total de alunos

ΔS=0,4×20=8 anos\Delta S = 0{,}4 \times 20 = \boxed{8\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 4 (número de grupos) em vez de 20.

Passo 5 — Relacionar anos adicionados com aniversariantes

Cada aluno que faz aniversário em setembro ganha exatamente 1 ano, então o total de anos adicionados é igual ao número de aniversariantes.

Por que esta fórmula: Se cada aniversário adiciona 1 ano à soma, o número de aniversariantes é igual ao total de anos adicionados.

Naniv=ΔSN_{aniv} = \Delta S

De onde vem cada valor: ΔS\Delta S = passo 4: 8

Naniv=8=8 alunosN_{aniv} = 8 = \boxed{8\ \text{alunos}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que cada aniversário adiciona mais de 1 ano, ou tentar dividir por algo.

Resposta: 8 alunos (letra E)

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