Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 14 horas (alternativa D).

A ideia por trás

Quando duas máquinas trabalham juntas, suas produções se somam: a quantidade de peças feitas por minuto por X mais a quantidade feita por minuto por Y é igual à quantidade feita por minuto pelas duas juntas. Essa 'quantidade por minuto' é a taxa de produção, e ela é constante se o ritmo não muda. Para achar o tempo de Y sozinha, primeiro descobrimos a taxa de Y subtraindo a taxa de X da taxa conjunta; depois, dividimos o total de peças pela taxa de Y. Por fim, convertemos minutos em horas, porque as alternativas estão em horas.

O que a questão dá

• máquina X: 120 peças em 35 min

• X e Y juntas: 120 peças em 21 min

• produção desejada de Y: 1920 peças

O que queremos: o tempo que a máquina Y leva para produzir 1920 peças

Passo 1 — Calcular a taxa de produção de X

Precisamos saber quantas peças X faz por minuto, porque essa taxa vai ser usada para achar a taxa de Y. Taxa de produção é a quantidade dividida pelo tempo: se X faz 120 peças em 35 minutos, a taxa é 120 dividido por 35.

Por que esta fórmula: A taxa (peças por minuto) é sempre o total de peças dividido pelo tempo gasto. Essa é a definição de ritmo de produção.

De onde vem cada valor: $120$ = enunciado: X produz 120 peças · $35$ = enunciado: em 35 minutos

$T_X$ = $\frac{24}{7}$ $\text{ peças/min}$ $\approx$ 3{,}43 $\text{ peças/min}$

Passo 2 — Calcular a taxa conjunta de X e Y

Juntas, X e Y produzem 120 peças em 21 minutos. Essa taxa conjunta é a soma das taxas individuais, então precisamos dela para depois subtrair a taxa de X.

Por que esta fórmula: Mesma ideia do passo 1: taxa é total dividido pelo tempo. Aqui o total é 120 e o tempo é 21.

De onde vem cada valor: $120$ = enunciado: produzem 120 peças juntas · $21$ = enunciado: em 21 minutos

$\frac{40}{7}$ $\text{ peças/min}$ $\approx$ 5{,}71 $\text{ peças/min}$

Passo 3 — Subtrair para achar a taxa de Y

Como as taxas se somam quando as máquinas trabalham juntas, a taxa de Y é a diferença entre a taxa conjunta e a taxa de X. Isso isola a contribuição de Y.

Por que esta fórmula: Se T_X + T_Y = T_{X+Y}, então T_Y = T_{X+Y} - T_X. É uma simples manipulação da equação de soma.

De onde vem cada valor: $T_{X+Y}$ = passo 2 · $T_X$ = passo 1

$T_Y$ = $\frac{16}{7}$ $\text{ peças/min}$ $\approx$ 2{,}29 $\text{ peças/min}$

Passo 4 — Calcular o tempo para 1920 peças

Agora que sabemos quantas peças Y faz por minuto, podemos descobrir quanto tempo ela leva para fazer 1920 peças. Tempo é o total de peças dividido pela taxa.

Por que esta fórmula: Da definição de taxa: taxa = peças ÷ tempo, então tempo = peças ÷ taxa. Aqui, peças = 1920 e taxa = 16/7.

De onde vem cada valor: $1920$ = enunciado: Y produz 1920 peças · $T_Y$ = passo 3

Passo 5 — Converter minutos em horas

As alternativas estão em horas, então precisamos transformar os 840 minutos. Como 1 hora tem 60 minutos, dividimos por 60.

Por que esta fórmula: A conversão de minutos para horas é uma regra de três: 60 min = 1 h, então t_h = t_min ÷ 60.

De onde vem cada valor: $t_{min}$ = passo 4: 840 minutos · $60$ = 1 hora = 60 minutos

Resposta: 14 horas (alternativa D)