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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu075182
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Marília - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Contábil
A razão entre o número de alunos bolsistas e o número de alunos pagantes em uma escola é igual a 3/20. Para o próximo ano, os gestores da escola pretendem que essa razão passe a ser de 1/5, e para essa razão se concretizar, eles consideram que o número de alunos pagantes aumentará em 200 e o número de alunos bolsistas aumentará em 66. Se essas previsões se confirmarem, o total de alunos bolsistas no próximo ano será
  1. A100.
  2. B121.
  3. C144.
  4. D169.
  5. E196.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 144.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 144 bolsistas (alternativa C).

A ideia por trás

Uma razão compara duas grandezas por meio de uma divisão: se a razão entre bolsistas e pagantes é 3/20, isso significa que, para cada 3 bolsistas, há 20 pagantes. Quando o problema diz que essa razão vai mudar para 1/5 após certos aumentos, ele está nos dando duas relações entre as mesmas duas quantidades desconhecidas — o número atual de bolsistas (B) e o número atual de pagantes (P). Com duas relações independentes, conseguimos montar um sistema de equações e descobrir os valores de B e P. A relação que governa é a própria definição de razão: B/P = 3/20 e (B+66)/(P+200) = 1/5. Cada equação relaciona B e P de um jeito; resolvendo o sistema, encontramos B e depois somamos o aumento de 66 para obter o total no próximo ano. Nesta questão, o ponto central é traduzir o enunciado em duas equações e resolvê-las corretamente, sem esquecer de somar o aumento no final.

O que a questão dá

  • razão atual bolsistas/pagantes = 3/20

  • razão futura bolsistas/pagantes = 1/5

  • aumento de bolsistas = 66

  • aumento de pagantes = 200

O que queremos: o total de alunos bolsistas no próximo ano

Passo 1 — Montar a equação da razão atual

Precisamos transformar a informação da razão atual em uma equação que relacione o número de bolsistas (B) e pagantes (P). Isso é o primeiro passo para montar o sistema.

Por que esta fórmula: A razão entre B e P é dada como 3/20, então escrevemos B/P = 3/20. Multiplicando em cruz, obtemos 20B = 3P, que é mais fácil de usar depois.

BP=320⇒20B=3P\frac{B}{P} = \frac{3}{20} \Rightarrow 20B = 3P

De onde vem cada valor: BB = enunciado: número atual de bolsistas (incógnita) · PP = enunciado: número atual de pagantes (incógnita) · 3/203/20 = enunciado: razão atual

20B=3P20B = 3P
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar em cruz e tentar usar B/P = 3/20 diretamente na substituição, o que complica a resolução.

Passo 2 — Montar a equação da razão futura

A segunda informação do enunciado é sobre a razão futura, após os aumentos. Precisamos dela para ter duas equações e resolver o sistema.

Por que esta fórmula: No próximo ano, o número de bolsistas será B+66 e o de pagantes P+200. A razão futura é 1/5, então (B+66)/(P+200) = 1/5. Multiplicando em cruz e isolando P, obtemos P = 5B + 130, que será substituído na primeira equação.

B+66P+200=15⇒5(B+66)=P+200⇒P=5B+130\frac{B+66}{P+200} = \frac{1}{5} \Rightarrow 5(B+66) = P+200 \Rightarrow P = 5B + 130

De onde vem cada valor: B+66B+66 = enunciado: bolsistas atuais + aumento de 66 · P+200P+200 = enunciado: pagantes atuais + aumento de 200 · 1/51/5 = enunciado: razão futura

5(B+66)=P+2005(B+66) = P+200
P=5 B+130P = \boxed{5\ \text{B} + 130}
NÃO CAIA NESSA!

Errar ao multiplicar em cruz: alguns alunos escrevem 5(B+66) = P+200, mas esquecem de distribuir o 5, ficando 5B+66 = P+200.

Passo 3 — Substituir P na primeira equação

Agora temos duas equações com duas incógnitas. Substituindo a expressão de P da segunda equação na primeira, ficamos com uma equação só com B, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, 20B = 3P. Como P = 5B + 130, substituímos P na equação para obter 20B = 3(5B + 130). Isso é o método da substituição para sistemas.

20B=3(5B+130)20B = 3(5B + 130)

De onde vem cada valor: 20B20B = passo 1: 20B = 3P · 3(5B+130)3(5B + 130) = passo 2: P = 5B + 130, substituído no lugar de P

20B=3(5B+130)20B = 3(5B + 130)
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 3(5B+130) = 15B + 390, não 15B + 130.

Passo 4 — Resolver a equação para achar B

Com a equação do passo anterior, podemos isolar B e descobrir quantos bolsistas há atualmente. Esse é o valor que precisamos para calcular o total futuro.

Por que esta fórmula: A equação 20B = 15B + 390 é linear. Subtraindo 15B de ambos os lados, obtemos 5B = 390; dividindo por 5, encontramos B = 78.

20B=15B+390⇒5B=390⇒B=7820B = 15B + 390 \Rightarrow 5B = 390 \Rightarrow B = 78

De onde vem cada valor: 20B20B = passo 3 · 15B+39015B + 390 = passo 3: resultado da distributiva · 390390 = passo 3: 3*130

20B=15B+39020B = 15B + 390
B=78 bolsistasB = \boxed{78\ \text{bolsistas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 20B - 15B = 5B, não 5B? Confundir os coeficientes.

Passo 5 — Somar o aumento de bolsistas

A pergunta é sobre o total de bolsistas no próximo ano, não o atual. Por isso, depois de achar B, precisamos somar os 66 novos bolsistas.

Por que esta fórmula: O total futuro é B + 66, pois o número atual de bolsistas aumenta em 66. Essa é a operação final para responder à questão.

Bfuturo=B+66B_{futuro} = B + 66

De onde vem cada valor: BB = passo 4: 78 · 6666 = enunciado: aumento de bolsistas

Bfuturo=78+66=144 bolsistasB_{futuro} = 78 + 66 = \boxed{144\ \text{bolsistas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o aumento e marcar 78, que não está nas alternativas — a banca coloca distratores para pegar esse erro.

Resposta: 144 bolsistas (alternativa C)

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