GabaritoE — 78.
Gabarito: letra E — a conta chega a 26 caixas; 26 é divisor de 78, alternativa E..
Quando um problema fala de duas quantidades que se multiplicam para dar um total, como caixas e peças por caixa, estamos diante de um produto. Aqui, o produto é fixo (390 peças), mas os dois fatores — número de caixas e peças por caixa — são desconhecidos. A diferença entre eles também é dada (11). Esse tipo de situação gera uma equação do segundo grau, porque ao substituir uma relação na outra aparece o termo ao quadrado. A equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0 e pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara, que encontra os valores que satisfazem a igualdade. Depois de achar o número de caixas, a questão pede para verificar qual dos números das alternativas é múltiplo dele, ou seja, qual pode ser dividido por ele sem deixar resto. Nesta questão, o passo crucial é montar a equação corretamente a partir das duas informações e depois testar a divisibilidade.
total de peças = 390
número de caixas excede o número de peças por caixa em 11
O que queremos: o número de caixas utilizadas e verificar qual alternativa ele divide
Precisamos traduzir o enunciado em linguagem matemática. O total de peças é o produto do número de caixas pelo número de peças por caixa, então essa é a primeira relação que liga as duas incógnitas.
Por que esta fórmula: É a definição de multiplicação: se cada caixa tem a mesma quantidade de peças, o total é caixas vezes peças por caixa.
De onde vem cada valor: = enunciado: número de caixas (incógnita) · = enunciado: número de peças por caixa (incógnita) · = enunciado: total de peças
Trocar a ordem: pensar que é C + P = 390, mas é produto.
O enunciado também diz que o número de caixas excede o número de peças por caixa em 11, ou seja, C é 11 a mais que P. Isso nos dá uma segunda equação, necessária para resolver o sistema.
Por que esta fórmula: A palavra 'excede' significa 'é maior que', então C = P + 11.
De onde vem cada valor: = enunciado: número de caixas · = enunciado: número de peças por caixa · = enunciado: diferença
Escrever C = P - 11, invertendo a relação.
Com duas equações e duas incógnitas, substituímos a expressão de C na primeira equação. Isso elimina uma variável e gera uma equação apenas com P, que podemos resolver.
Por que esta fórmula: Substituição é o método padrão para resolver sistemas: trocamos C por (P + 11) na equação do produto.
De onde vem cada valor: = passo 2: C = P + 11 · = passo 1: número de peças por caixa · = passo 1: total de peças
Esquecer de distribuir o P, ficando com P + 11P = 390.
Para usar Bhaskara, a equação precisa estar na forma ax² + bx + c = 0. Expandimos o produto e passamos tudo para um lado.
Por que esta fórmula: A forma padrão da equação do 2º grau é ax² + bx + c = 0, e é assim que aplicamos a fórmula de Bhaskara.
De onde vem cada valor: = passo 3: P × P · = passo 3: 11 × P · = passo 3: 390 subtraído dos dois lados
Errar o sinal ao passar o 390 para o outro lado.
O discriminante (Δ) indica quantas raízes reais a equação tem e é usado na fórmula de Bhaskara. Calculá-lo primeiro facilita a resolução.
Por que esta fórmula: Na fórmula de Bhaskara, Δ = b² - 4ac. Aqui a = 1, b = 11, c = -390.
De onde vem cada valor: = passo 4: 11 · = passo 4: 1 · = passo 4: -390
Esquecer o sinal de menos de c, resultando em 121 - 1560 = -1439.
Com o discriminante em mãos, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de P que satisfazem a equação.
Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é P = (-b ± √Δ) / (2a). Ela resolve qualquer equação do 2º grau.
De onde vem cada valor: = passo 4: 11 · = passo 5: 1681 · = passo 4: 1
P = 15 ou P = -26
Errar o sinal de b: usar +11 em vez de -11.
Número de peças por caixa não pode ser negativo, então descartamos -26. Com P = 15, usamos a relação do passo 2 para achar C.
Por que esta fórmula: Como C = P + 11, substituímos P pelo valor positivo.
De onde vem cada valor: = passo 6: 15 · = passo 2: diferença
Usar a raiz negativa, o que daria C = -15, sem sentido.
A questão pede qual alternativa é divisível por 26, ou seja, qual número pode ser dividido por 26 sem deixar resto. Testamos cada uma.
Por que esta fórmula: Um número é divisor de outro se a divisão é exata. Verificamos 78 ÷ 26 = 3, então 26 divide 78.
De onde vem cada valor: = enunciado: alternativa E · = passo 7: número de caixas
Testar apenas algumas alternativas e esquecer de verificar todas.
Resposta: 26 caixas; 26 é divisor de 78, alternativa E.
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