Questão de Matemática — Porcentagem — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 81,00 (alternativa C).

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de expressar uma parte de um todo: 10% significa 10 em cada 100, ou seja, 0,10. Quando se aplica um desconto de 10%, paga-se 90% do valor original, que é o mesmo que multiplicar por 0,9. Neste problema, precisamos descobrir os preços de etiqueta das três camisetas a partir das informações sobre o total pago e o acréscimo devido à falta de desconto na mais cara. A relação central é que o total pago inicialmente corresponde a 90% da soma dos preços de etiqueta, e o pagamento extra corresponde a 10% do preço da camiseta mais cara. Com isso, montamos um sistema de equações para achar os preços individuais e, por fim, aplicamos o desconto na camiseta mais barata.

O que a questão dá

• desconto de 10% sobre o valor das etiquetas

• pagamento inicial: R$ 306,00

• pagamento extra: R$ 15,00

• diferença entre as outras duas camisetas (antes do desconto): R$ 10,00

O que queremos: o valor da camiseta mais barata após o desconto de 10%

Passo 1 — Descobrir o total das etiquetas

O pagamento inicial de R$ 306,00 já inclui o desconto de 10% sobre o total das etiquetas. Ou seja, 306 é 90% do valor total. Para trabalhar com os preços originais, precisamos saber esse total.

Por que esta fórmula: Se 90% do total é 306, então o total é 306 dividido por 0,9. Isso porque 90% = 0,9 e queremos o valor que, multiplicado por 0,9, dá 306.

De onde vem cada valor: $306$ = enunciado: pagamento inicial · $0{,}9$ = desconto de 10%: paga-se 90% = 0,9

Passo 2 — Achar o preço da camiseta mais cara

A camiseta mais cara não teve desconto, então a pessoa pagou 100% do preço dela, em vez de 90%. A diferença de 10% desse preço é exatamente o valor extra pago: R$ 15,00. Isso nos permite descobrir o preço de etiqueta dessa camiseta.

Por que esta fórmula: 10% do preço z é 15, então z = 15 / 0,1.

De onde vem cada valor: $15$ = enunciado: pagamento extra · $0{,}1$ = 10% = 0,1

Passo 3 — Calcular a soma das outras duas

Já sabemos o total das etiquetas (340) e o preço da mais cara (150). A soma das outras duas é a diferença entre esses valores.

Por que esta fórmula: Se x + y + z = 340 e z = 150, então x + y = 340 - 150.

De onde vem cada valor: $340$ = passo 1 · $150$ = passo 2

Passo 4 — Montar o sistema com a diferença

Temos duas informações sobre x e y: a soma (190) e a diferença (10). Com essas duas equações, conseguimos achar cada um separadamente.

Por que esta fórmula: A diferença entre a do meio (y) e a mais barata (x) é 10, então y - x = 10. Juntando com x + y = 190, temos um sistema.

De onde vem cada valor: $190$ = passo 3 · $10$ = enunciado: diferença entre as outras duas

Passo 5 — Resolver o sistema para achar y

Somando as duas equações, o x se cancela e sobra uma equação só com y. Isso é um método rápido para sistemas lineares.

Por que esta fórmula: Ao somar (x+y) + (y-x) = 190 + 10, temos 2y = 200, então y = 100.

De onde vem cada valor: $200$ = 190 + 10 · $2$ = coeficiente de y após a soma

Passo 6 — Achar o preço da mais barata

Com y conhecido, usamos a equação da soma para achar x.

Por que esta fórmula: Se x + y = 190 e y = 100, então x = 190 - 100.

De onde vem cada valor: $190$ = passo 3 · $100$ = passo 5

Passo 7 — Aplicar o desconto na mais barata

A pergunta pede o valor APÓS o desconto de 10%. O preço de etiqueta é 90, então precisamos calcular quanto fica com o desconto.

Por que esta fórmula: Desconto de 10% significa pagar 90% do valor, ou seja, multiplicar por 0,9.

De onde vem cada valor: $90$ = passo 6 · $0{,}9$ = desconto de 10%: 100% - 10% = 90% = 0,9

Resposta: R$ 81,00 (alternativa C)