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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu075223
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Marília - SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Assistente de Farmacêutico
Uma loja dispunha de 176 sabonetes cremosos e 108 sabonetes esfoliantes e fez embalagens, cada uma delas com o mesmo número de sabonetes de um só tipo, sendo esse número o maior possível. Sabendo que cada embalagem foi vendida a R$ 9,00 e que todos os sabonetes foram embalados, o valor total arrecadado com a venda de todas essas embalagens foi de
  1. AR$ 486,00.
  2. BR$ 567,00.
  3. CR$ 639,00.
  4. DR$ 676,00.
  5. ER$ 731,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — R$ 639,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 639,00 (alternativa C).

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide exatamente dois ou mais números. Ele serve para dividir quantidades em grupos iguais do maior tamanho possível, como no caso de embalar sabonetes. O MDC é encontrado decompondo os números em fatores primos e multiplicando os fatores comuns com o menor expoente. Nesta questão, precisamos achar o MDC de 176 e 108 para saber quantos sabonetes vão em cada embalagem, depois calcular o total de embalagens e multiplicar pelo preço.

O que a questão dá

  • sabonetes cremosos = 176

  • sabonetes esfoliantes = 108

  • preço por embalagem = R$ 9,00

O que queremos: o valor total arrecadado com a venda de todas as embalagens

Passo 1 — Decompor 176 em fatores primos

Para achar o MDC, precisamos da fatoração de cada número. Fatorar é escrever o número como produto de primos, o que permite ver os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é o método padrão para calcular o MDC.

176=24×11176 = 2^{4} \times 11

De onde vem cada valor: 176176 = enunciado: sabonetes cremosos

176=2×2×2×2×11=24×11176 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 11 = \boxed{2^{4} \times 11}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 11, achando que 176 é só potência de 2.

Passo 2 — Decompor 108 em fatores primos

Precisamos da fatoração do segundo número para comparar os fatores comuns.

Por que esta fórmula: Mesmo método do passo anterior.

108=22×33108 = 2^{2} \times 3^{3}

De onde vem cada valor: 108108 = enunciado: sabonetes esfoliantes

108=2×2×3×3×3=22×33108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = \boxed{2^{2} \times 3^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 3^3 com 3×3, achando 9 em vez de 27.

Passo 3 — Calcular o MDC entre 176 e 108

Com as fatorações, o MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente. Aqui, o único fator comum é 2, com expoentes 4 e 2; o menor é 2.

Por que esta fórmula: O MDC é definido assim: pega-se cada fator primo que aparece nos dois números, com o menor expoente.

MDC=22=4MDC = 2^{2} = 4

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1 e passo 2: fator comum 2 com menor expoente 2

MDC=2×2=4=4MDC = 2 \times 2 = 4 = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente (2^4) em vez do menor, dando MDC = 16.

Passo 4 — Calcular embalagens de sabonetes cremosos

Cada embalagem terá 4 sabonetes (o MDC). Dividindo o total de cremosos por 4, sabemos quantas embalagens desse tipo foram feitas.

Por que esta fórmula: Se cada embalagem tem 4 sabonetes, o número de embalagens é a divisão exata.

Ecremosos=1764E_{cremosos} = \frac{176}{4}

De onde vem cada valor: 176176 = enunciado: sabonetes cremosos · 44 = passo 3: MDC

Ecremosos=1764=44=44 embalagensE_{cremosos} = \frac{176}{4} = 44 = \boxed{44\ \text{embalagens}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 176 por 2, achando 88, por não ter calculado o MDC corretamente.

Passo 5 — Calcular embalagens de sabonetes esfoliantes

Mesmo raciocínio para o outro tipo de sabonete.

Por que esta fórmula: Divisão exata do total pelo tamanho da embalagem.

Eesfol=1084E_{esfol} = \frac{108}{4}

De onde vem cada valor: 108108 = enunciado: sabonetes esfoliantes · 44 = passo 3: MDC

Eesfol=1084=27=27 embalagensE_{esfol} = \frac{108}{4} = 27 = \boxed{27\ \text{embalagens}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir os esfoliantes, usando só os cremosos.

Passo 6 — Somar o total de embalagens

O valor arrecadado depende do total de embalagens vendidas, então precisamos somar as dos dois tipos.

Por que esta fórmula: O total é a soma das partes.

Etotal=Ecremosos+EesfolE_{total} = E_{cremosos} + E_{esfol}

De onde vem cada valor: EcremososE_{cremosos} = passo 4: 44 · EesfolE_{esfol} = passo 5: 27

Etotal=44+27=71=71 embalagensE_{total} = 44 + 27 = 71 = \boxed{71\ \text{embalagens}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar, usando apenas um dos valores.

Passo 7 — Multiplicar pelo preço de cada embalagem

Cada embalagem foi vendida por R$ 9,00, então o total arrecadado é o número de embalagens vezes o preço.

Por que esta fórmula: O valor total é o produto da quantidade pelo preço unitário.

Vtotal=Etotal×9V_{total} = E_{total} \times 9

De onde vem cada valor: EtotalE_{total} = passo 6: 71 · 99 = enunciado: preço por embalagem R$ 9,00

Vtotal=71×9=639V_{total} = 71 \times 9 = 639

VtotalV_{total} = R$ 639,00

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar o total de sabonetes (284) por 9, sem dividir em embalagens, dando R$ 2556,00.

Resposta: R$ 639,00 (alternativa C)

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