GabaritoD — 165.
Gabarito: letra D — a conta chega a 165 (alternativa D).
A sequência dos números ímpares positivos (1, 3, 5, 7, …) é uma progressão aritmética (PA): uma lista de números em que cada termo é obtido somando-se sempre o mesmo valor ao anterior. Esse valor constante é a razão, que aqui vale 2. A posição de um termo é o seu lugar na lista: o 1º é 1, o 2º é 3, o 3º é 5, e assim por diante.
Em uma PA, o termo geral é dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r, onde a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição. Isso significa que, para chegar ao n-ésimo termo, partimos do primeiro e somamos a razão (n-1) vezes. Aqui, com a₁ = 1 e r = 2, a fórmula vira aₙ = 1 + (n-1)·2 = 2n - 1. Perceba que o resultado cresce com n: quanto maior a posição, maior o termo, e cada aumento de 1 na posição aumenta o termo em 2.
Nesta questão, precisamos aplicar a fórmula do termo geral para n = 83, ou seja, substituir n por 83 e calcular o valor. O cuidado está em não esquecer o ajuste de subtrair 1, pois a fórmula 2n - 1 já embute a correção da posição.
primeiro termo = 1
razão = 2 (cada termo é o anterior somado de 2)
posição pedida = 83
O que queremos: o 83º elemento da sequência dos números ímpares
Antes de calcular qualquer termo, precisamos identificar o padrão da sequência. Aqui, cada número é o anterior somado de 2, então temos uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e razão 2. Isso nos permite usar a fórmula do termo geral.
Achar que a sequência não tem padrão ou tentar listar todos os termos até o 83º, o que é inviável.
Com a PA identificada, usamos a fórmula do termo geral para calcular qualquer posição sem precisar listar todos os termos. A fórmula é aₙ = a₁ + (n-1)·r, que significa: partimos do primeiro termo e somamos a razão (n-1) vezes.
Por que esta fórmula: É a fórmula padrão para progressões aritméticas, pois relaciona a posição n com o valor do termo. Outras fórmulas (como a de soma) não servem aqui, pois queremos um termo específico.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro termo = 1 · = enunciado: razão = 2 (cada termo é o anterior somado de 2) · = enunciado: posição pedida = 83
Confundir a razão com o primeiro termo, ou usar n = 83 como se fosse o valor do termo.
Agora que temos a fórmula e os valores, substituímos a₁ = 1, r = 2 e n = 83 para encontrar o termo pedido. Isso transforma a fórmula geral em uma conta simples.
Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral é a única que nos dá diretamente o valor do 83º termo; substituir os valores é o passo natural após escrevê-la.
De onde vem cada valor: = passo 2: a_1 = 1 · = passo 2: n-1 = 83-1 · = passo 2: r = 2
Esquecer os parênteses e calcular 83-1 como 82, mas depois errar a multiplicação; ou usar 83 em vez de 82 na multiplicação.
Com a expressão montada, resolvemos a aritmética: primeiro a subtração dentro dos parênteses, depois a multiplicação e por fim a soma. Isso nos dá o valor numérico do termo.
Por que esta fórmula: A ordem das operações (parênteses, multiplicação, soma) é obrigatória para obter o resultado correto.
Fazer 83·2 = 166 e esquecer de subtrair 1, obtendo 166 em vez de 165.
Resposta: 165 (alternativa D)
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