Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

Problemas com conjuntos: professores por período

Gabarito: letra A. O total de professores é 50, sendo 7 nos dois períodos. Seja $x$ o número de professores que lecionam somente pela manhã; então os que lecionam somente à tarde são $x+5$. A soma das partes disjuntas é $x + (x+5) + 7 = 50$, o que dá $2x = 38$, logo $x = 19$ (somente manhã) e $x+5 = 24$ (somente tarde). Assim, o total de professores que lecionam pela manhã é $19 + 7 = 26$ — exatamente o que afirma a alternativa A.

O problema é um clássico de conjuntos com intersecção. A palavra-chave é "somente": ela separa os professores que lecionam exclusivamente em um período daqueles que lecionam nos dois. A armadilha da banca está em confundir "somente manhã" com "manhã" — quem cai nessa pegadinha marca 19 (alternativa C) ou 24 (alternativa B), esquecendo de somar os 7 que lecionam nos dois períodos.

Vamos montar o diagrama mental: temos três grupos disjuntos — somente manhã ($x$), somente tarde ($x+5$) e ambos (7). A soma desses três grupos é o total de 50 professores. Resolvendo:

Portanto:

• Somente manhã: 19

• Somente tarde: 24

• Ambos: 7

• Total manhã = 19 + 7 = 26

• Total tarde = 24 + 7 = 31

A alternativa A é a única que corresponde a um desses totais corretos.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que 26 professores lecionam no período da manhã. De fato, o total de professores que lecionam pela manhã é a soma dos que lecionam somente pela manhã (19) com os que lecionam nos dois períodos (7): $19 + 7 = 26$. A alternativa está correta porque considera a intersecção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que 24 professores lecionam no período da tarde. O número 24 corresponde aos professores que lecionam somente à tarde, não ao total do período da tarde. O total da tarde é $24 + 7 = 31$. A banca trocou "somente tarde" por "tarde", deixando de somar os 7 que lecionam nos dois períodos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que 19 professores lecionam no período da manhã. O número 19 corresponde aos professores que lecionam somente pela manhã, não ao total do período da manhã. O total da manhã é $19 + 7 = 26$. Mesma pegadinha da alternativa B, agora com o período da manhã.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que 26 professores lecionam no período da tarde. O total da tarde é 31 (24 somente tarde + 7 ambos). O número 26 é o total da manhã, não da tarde. A banca inverteu os totais dos períodos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que 31 professores lecionam no período da manhã. O total da manhã é 26, não 31. O número 31 é o total da tarde. A banca inverteu os totais dos períodos, igual à alternativa D.

Gabarito: letra A