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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu077031
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Pindamonhangaba - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica (Ensino InfantilFundamental)
Uma professora combinou com seus alunos de uma turma que, em todos os dias de aula, duas crianças, sendo um menino e uma menina, serão requisitados para serem os ajudantes do dia. Para não pular nenhuma criança, a professora seguirá uma lista com os nomes das meninas e outra lista com os nomes dos meninos. Sabe-se que essa turma é composta por 20 alunos, com 12 meninas e 8 meninos, e, portanto, no 1º dia de aula, serão ajudantes a primeira menina e o primeiro menino de cada lista. Já, no 2º dia, os ajudantes serão os segundos nomes de cada lista e, assim, sucessivamente. No 9º dia, serão ajudantes a 9a menina da lista e, novamente, o 1º menino, reiniciando a lista dos meninos. O processo seguirá até o último dia de aula.Considerando 200 dias letivos no ano e que nenhum aluno falte no seu dia de ser ajudante, o número de vezes que a primeira dupla, ou seja, a 1a menina com o 1° menino das respectivas listas, serão ajudantes da professora é igual a
  1. A4.
  2. B6.
  3. C8.
  4. D10.
  5. E12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 8 vezes (letra C).

A ideia por trás

Quando duas listas se repetem ciclicamente, o encontro entre elas acontece nos múltiplos comuns dos comprimentos. O mínimo múltiplo comum (MMC) entre 12 e 8 é 24, ou seja, a cada 24 dias a dupla inicial se repete. Contando quantos múltiplos de 24 cabem em 200, obtemos 8 ocorrências. O MDC não se aplica aqui, pois ele daria o maior divisor comum, não o próximo encontro.

O que a questão dá

  • total de alunos = 20

  • meninas = 12

  • meninos = 8

  • dias letivos = 200

O que queremos: o número de vezes que a primeira dupla (1ª menina e 1º menino) será ajudante

Passo 1 — Entender o ciclo de repetição

Precisamos perceber que as listas de meninas e meninos se repetem: a cada 12 dias a lista das meninas reinicia, e a cada 8 dias a dos meninos. A primeira dupla só se forma quando ambas as listas estão na posição 1 ao mesmo tempo.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que a dupla se repete a cada 12 ou 8 dias, esquecendo que precisa coincidir nas duas listas.

Passo 2 — Calcular o MMC entre 12 e 8

O MMC entre os comprimentos das listas dá o intervalo em dias para que ambas reiniciem juntas. Para isso, fatoramos os números e pegamos os fatores comuns e não comuns de maior expoente.

Por que esta fórmula: O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos. Fatorando: 12 = 2² × 3 e 8 = 2³. O MMC é 2³ × 3 = 24.

MMC(12,8)=23×3=24MMC(12, 8) = 2^{3} \times 3 = 24

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: 12 meninas · 88 = enunciado: 8 meninos

MMC(12,8)=23×3=8×3=24=24 diasMMC(12, 8) = 2^{3} \times 3 = 8 \times 3 = 24 = \boxed{24\ \text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o MDC (que daria 4) em vez do MMC.

Passo 3 — Contar os múltiplos de 24 até 200

A dupla se repete a cada 24 dias, então precisamos saber quantas vezes esse intervalo cabe nos 200 dias letivos. Isso é feito dividindo 200 por 24 e considerando apenas a parte inteira.

Por que esta fórmula: A divisão inteira nos dá quantos ciclos completos de 24 dias existem em 200 dias. O resto indica que o próximo encontro (216) ultrapassa o limite.

ocorreˆncias=⌊20024⌋\text{ocorrências} = \left\lfloor \frac{200}{24} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 200200 = enunciado: 200 dias letivos · 2424 = passo 2: MMC(12, 8)

ocorreˆncias=⌊20024⌋=⌊8,33⌋=8=8 vezes\text{ocorrências} = \left\lfloor \frac{200}{24} \right\rfloor = \lfloor 8{,}33 \rfloor = 8 = \boxed{8\ \text{vezes}}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para cima (daria 9) ou dividir por 20 (total de alunos).

Resposta: 8 vezes (letra C)

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