No acervo da biblioteca pela qual Adriana é responsável, há 90 livros da área de Filosofia, 225 da área de Literatura e 315 da área de Ciências Exatas. Adriana vai acomodar todos esses livros em prateleiras, de modo que em uma mesma prateleira, não sejam misturados livros de áreas distintas. Além disso, em todas as prateleiras, deve haver a mesma quantidade de livros, independentemente da área a qual o livro pertença, e por fim, Adriana deseja acomodar, em cada prateleira, o maior número possível de livros. Feita a acomodação de todos os livros nessas condições, o número total de prateleiras que serão usadas é igual a
A12.
B13.
C14.
D15.
E16.
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GabaritoC — 14.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 14 prateleiras (alternativa C).
A ideia por trás
Quando precisamos dividir quantidades diferentes em grupos do mesmo tamanho, sem sobras e com o maior tamanho possível, o tamanho do grupo é o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números. O MDC é o maior número que divide exatamente todos os valores dados; ele representa o maior tamanho de grupo que cabe em cada quantidade sem sobrar nada. Nesta questão, os grupos são as prateleiras, e o tamanho máximo de cada prateleira é o MDC de 90, 225 e 315. Depois de achar esse tamanho, dividimos cada total por ele para saber quantas prateleiras de cada área são necessárias, e somamos os resultados.
O que a questão dá
90 livros de Filosofia
225 livros de Literatura
315 livros de Ciências Exatas
O que queremos: o número total de prateleiras usadas
Passo 1 — Fatorar cada quantidade em primos
Para achar o MDC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso revela os fatores comuns e seus menores expoentes, que formam o MDC.
Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o primeiro passo do método para calcular o MDC: escrevemos cada número como produto de primos.
De onde vem cada valor: = enunciado: 90 livros de Filosofia · = enunciado: 225 livros de Literatura · = enunciado: 315 livros de Ciências Exatas
90 = 2·3²·5, 225 = 3²·5², 315 = 3²·5·7
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de fatorar completamente, como escrever 90 = 2·45 sem quebrar o 45.
Passo 2 — Calcular o MDC pelos fatores comuns
O MDC é o produto dos fatores primos comuns a todos os números, cada um com o menor expoente. Isso dá o maior número que divide os três totais exatamente.
Por que esta fórmula: O MDC é definido como o produto dos fatores comuns com os menores expoentes; aqui, os fatores comuns são 3 e 5, com expoentes 2 e 1, respectivamente.
De onde vem cada valor: = passo 1: fator comum com menor expoente (todos têm 3²) · = passo 1: fator comum com menor expoente (todos têm 5¹)
NÃO CAIA NESSA!
Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria 3²·5² = 225, que não divide 90.
Passo 3 — Dividir cada total pelo MDC
Com o tamanho máximo de cada prateleira (45 livros), dividimos cada quantidade total por 45 para saber quantas prateleiras de cada área são necessárias.
Por que esta fórmula: Se cada prateleira tem 45 livros, o número de prateleiras de uma área é o total de livros dessa área dividido por 45.
De onde vem cada valor: = enunciado: 90 livros de Filosofia · = enunciado: 225 livros de Literatura · = enunciado: 315 livros de Ciências Exatas · = passo 2: MDC
NÃO CAIA NESSA!
Dividir na ordem errada ou usar o MMC (3150) no lugar do MDC, o que daria frações.
Passo 4 — Somar as prateleiras de cada área
O total de prateleiras é a soma das prateleiras de cada área, pois todas são usadas para acomodar os livros.
Por que esta fórmula: Cada área contribui com um certo número de prateleiras; somando, obtemos o total.
De onde vem cada valor: = passo 3: 2 · = passo 3: 5 · = passo 3: 7
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar uma das áreas ou somar os totais de livros antes de dividir.