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Questão de Matemática — Probabilidade — VUNESP 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
vu078238
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de São Paulo - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor Fiscal Tributário - Gestão Tributária (Parte 1 - Conhecimentos Gerais)
Pelas ocorrências do passado, avalia-se que a probabilidade de se encontrar um erro contábil em certo tipo de processo é igual a 0,8. Se chegam cinco processos desse tipo e supondo que o fato de um processo ter algum erro contábil não altera a probabilidade de outros terem algum erro contábil (independência entre os eventos), calcule a probabilidade de se encontrar dois ou mais processos com erros contábeis nesse lote de cinco processos.O valor dessa probabilidade é:
  1. A0,20000.
  2. B0,88242.
  3. C0,80000.
  4. D0,99328.
  5. E0,72000.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 0,99328.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 0,99328 (alternativa D).

A ideia por trás

A distribuição binomial descreve experimentos repetidos e independentes, onde cada tentativa tem dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) com probabilidade constante. Ela mede a chance de obter exatamente k sucessos em n tentativas. A fórmula é P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), onde p é a probabilidade de sucesso e (1-p) a de fracasso. Quando p cresce, a probabilidade de muitos sucessos aumenta; quando n cresce, a distribuição se espalha. Nesta questão, queremos a probabilidade de pelo menos dois sucessos, o que pode ser calculado diretamente somando as probabilidades de 2, 3, 4 e 5 sucessos, ou de forma mais eficiente usando o complemento: 1 - P(X=0) - P(X=1).

O que a questão dá

  • n = 5 processos

  • p = 0,8 (probabilidade de erro em um processo)

  • q = 1 - p = 0,2 (probabilidade de não erro)

O que queremos: a probabilidade de encontrar dois ou mais processos com erro contábil

Passo 1 — Calcular a probabilidade de nenhum erro

Para usar o complemento, precisamos primeiro da probabilidade de nenhum processo ter erro, pois isso é mais fácil de calcular do que somar quatro termos.

Por que esta fórmula: A fórmula binomial P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) dá a probabilidade de exatamente k sucessos. Para k=0, temos C(5,0)=1, p^0=1, e (1-p)^5.

P(X=0)=(50)⋅0,80⋅0,25P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}8^{0} \cdot 0{,}2^{5}

De onde vem cada valor: (50)\binom{5}{0} = enunciado: n=5, k=0 · 0,800{,}8^{0} = enunciado: p=0,8, elevado a 0 · 0,250{,}2^{5} = enunciado: q=0,2, elevado a 5

P(X=0)=1⋅1⋅0,25=0,00032P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}2^{5} = \boxed{0{,}00032}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 0,2^5 = 0,00032, ou usar 0,8^5 por engano.

Passo 2 — Calcular a probabilidade de exatamente um erro

O complemento também exige a probabilidade de exatamente um sucesso, que é o outro caso que queremos excluir.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula binomial com k=1. O coeficiente binomial C(5,1) = 5, pois há 5 maneiras de escolher qual processo tem erro.

P(X=1)=(51)⋅0,81⋅0,24P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}8^{1} \cdot 0{,}2^{4}

De onde vem cada valor: (51)\binom{5}{1} = enunciado: n=5, k=1 · 0,810{,}8^{1} = enunciado: p=0,8 · 0,240{,}2^{4} = enunciado: q=0,2, elevado a 4

P(X=1)=5⋅0,8⋅0,24=0,0064P(X=1) = 5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2^{4} = \boxed{0{,}0064}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o coeficiente binomial ou calcular 0,2^4 como 0,0016 (correto) mas esquecer de multiplicar por 5.

Passo 3 — Somar as probabilidades de zero e um erro

O complemento subtrai de 1 a soma das probabilidades dos casos que não queremos (0 e 1 sucesso).

Por que esta fórmula: A soma P(X=0) + P(X=1) representa a probabilidade de ter menos de dois erros, que é o complemento do que queremos.

P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)

De onde vem cada valor: P(X=0)P(X=0) = passo 1: 0,00032 · P(X=1)P(X=1) = passo 2: 0,0064

P(X<2)=0,00032+0,0064=0,00672P(X<2) = 0{,}00032 + 0{,}0064 = \boxed{0{,}00672}
NÃO CAIA NESSA!

Somar errado os decimais, por exemplo 0,00032 + 0,0064 = 0,00672 (correto), mas alguns podem somar 0,00032 + 0,0064 = 0,00672? Sim, é isso.

Passo 4 — Subtrair de 1 para obter dois ou mais

A probabilidade de dois ou mais é o complemento da probabilidade de menos de dois, então subtraímos de 1.

Por que esta fórmula: P(X≥2) = 1 - P(X<2), pois os eventos são complementares.

P(X≥2)=1−P(X<2)P(X \geq 2) = 1 - P(X<2)

De onde vem cada valor: P(X<2)P(X<2) = passo 3: 0,00672

P(X≥2)=1−0,00672=0,99328P(X \geq 2) = 1 - 0{,}00672 = \boxed{0{,}99328}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair de 1 e usar 0,00672 como resposta.

Resposta: 0,99328 (alternativa D)

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