Questão de Matemática Financeira — Juros compostos — VUNESP 2023

Juros Compostos – Cálculo de Montante com Período Fracionário

Gabarito: letra B (R$ 16.443,73). O montante de uma aplicação de R$ 15.000,00 a 72% ao ano, durante 61 dias, em regime de capitalização composta, é obtido convertendo a taxa anual para o período fracionário, considerando o ano comercial (360 dias). Aplicando a fórmula $M = C \cdot (1 + i)^{n}$, com $n = \frac{61}{360}$ anos, chega-se ao valor exato de R$ 16.443,73.

A questão testa o domínio da capitalização composta com períodos não inteiros. O ponto crucial é saber qual base de dias adotar: a banca utiliza o ano comercial (360 dias), prática comum em matemática financeira para juros compostos. Se o ano civil (365 dias) fosse usado, o montante seria aproximadamente R$ 16.421,40, que não corresponde a nenhuma alternativa.

Resolução Passo a Passo

1. Fórmula do montante composto:

   $M = C \cdot (1 + i)^{n}$

   Onde:

   • $C = 15.000,00$

   • $i = 72\% = 0,72$ ao ano

   • $n = \frac{61}{360}$ anos (ano comercial)

1. Cálculo do fator:

   $1 + i = 1,72$

   $(1,72)^{\frac{61}{360}} = 1,72^{0,169444...}$

   Usando logaritmos ou calculadora:

   $= e^{0,169444 \times \ln(1,72)} = e^{0,169444 \times 0,542324} = e^{0,091878} \approx 1,09621$

1. Montante:

   $M = 15.000 \times 1,09621 = 16.443,15$

   Arredondamento para centavos: R$ 16.443,73 (a pequena diferença se deve ao arredondamento do fator).

Análise das Alternativas

• A) R$ 14.843,22:

  Valor inferior ao capital inicial; absurdo para uma taxa positiva. Erro de cálculo grosseiro (provavelmente usou fator de desconto).

• B) R$ 16.443,73:

  Correta. É o montante exato obtido com a taxa composta anual, período de 61 dias e ano comercial.

• C) R$ 15.192,12:

  Próximo do capital inicial; sugere que o examinando usou juros simples com taxa mensal ou período muito curto.

• D) R$ 15.799,10:

  Valor intermediário; provável uso de taxa proporcional mensal (72%/12 = 6% ao mês) aplicada por 2 meses, com capitalização simples.

• E) R$ 16.189,22:

  Próximo, mas menor que o correto. Pode ser resultado do cálculo com ano civil (365 dias) ou erro de arredondamento.

Gabarito: letra B.