Questão de Raciocínio Lógico — Lógica de Argumentação - Diagramas e Operadores Lógicos — VUNESP 2023

Lógica proposicional: dedução de valores-verdade

Gabarito: letra E. A partir das afirmações verdadeiras, deduzimos que André não é qualificado (¬A) e Elton não é qualificado (¬E) são ambos falsos? Na verdade, ¬A é verdadeiro e ¬E é falso, mas a disjunção ¬A ∨ ¬E é verdadeira porque ¬A é verdadeiro. As demais alternativas resultam em falsidade diante da única atribuição consistente.

Vamos denotar as proposições:

• A: André é qualificado

• B: Bruna é qualificada

• C: Cleusa é qualificada

• D: Davi é qualificado

• E: Elton é qualificado

• F: Fabiana é qualificada

Afirmações verdadeiras: I. A → B II. C ∨ D (inclusivo; se exclusivo, mesmo resultado) III. E ∨ ¬F (inclusivo; se exclusivo, E ↔ F, que com F=V leva a E=V) IV. ¬B V. ¬C VI. F

Passo a passo:

• De IV: B = F

• De V: C = F

• De VI: F = V

• II: C ∨ D → F ∨ D → D = V (para II ser V)

• I: A → B → A → F → A = F (para I ser V)

• III: E ∨ ¬F → E ∨ F → E ∨ V → já é V, logo E pode ser V ou F? Mas E precisa ser V para III ser V? Na verdade, E ∨ V é sempre V, independente de E. Contudo, considere a interpretação exclusiva: se III for exclusivo (E XOR ¬F), com F=V, ¬F=F, então E XOR F → E = V. Sob inclusivo, E pode ser F também, mas alternativa E exige ¬A ∨ ¬E: ¬A é V (A=F), logo disjunção é V mesmo se ¬E for F. Então E=F também satisfaz? Verifiquemos: se E=F, então ¬E=V, e ¬A ∨ ¬E = V ∨ V = V. Mas testemos outras alternativas: A) E→C: se E=F, então F→C = V (pois antecedente F). Então A seria V? Não, porque C é F, então condicional F→F = V. Portanto A também seria verdadeira se E=F? Isso criaria duas alternativas verdadeiras, o que não é permitido. Precisamos verificar se E pode ser F. Com III como inclusivo: E ∨ ¬F = E ∨ F = E ∨ V = V, sempre V, então E pode ser F. Mas então a atribuição completa seria: A=F, B=F, C=F, D=V, E=F, F=V. Testemos as alternativas:

A) E→C: F→F = V → verdadeira. B) ¬B ∧ ¬D: V ∧ F = F C) F→A: V→F = F D) ¬D ∨ A: F ∨ F = F E) ¬A ∨ ¬E: V ∨ V = V → também verdadeira. Assim, teríamos duas alternativas verdadeiras (A e E), o que não é possível. Portanto, devemos rejeitar a possibilidade de E=F. Assim, a interpretação exclusiva de III é necessária para que E seja forçado a V. De fato, no contexto da questão, "ou...ou" em português frequentemente denota exclusão. Adotando III como exclusivo: (E ∧ ¬F) ∨ (¬E ∧ F). Com F=V, ¬F=F, então (E ∧ F) ∨ (¬E ∧ F) = (E ∧ V) ∨ (¬E ∧ V) = (E) ∨ (¬E) = V (tautologia). Isso não força E. A forma correta do exclusivo é: (E ∧ ¬F) ∨ (¬E ∧ F). Com F=V, ¬F=F, então (E ∧ F) ∨ (¬E ∧ V) = (E ∧ F) ∨ (¬E). Isso equivale a (E ∧ V) ∨ ¬E = E ∨ ¬E = V. Também tautologia. Na verdade, o exclusivo entre E e ¬F é sempre verdadeiro porque ¬F é o oposto de F? Se F=V, ¬F=F, então o exclusivo E XOR F é equivalente a E (pois F é constante). Portanto, para que o exclusivo seja verdadeiro, E deve ser V. Correto: E XOR ¬F = (E ∧ ¬(¬F)) ∨ (¬E ∧ ¬F) = (E ∧ F) ∨ (¬E ∧ ¬F). Com F=V, (E ∧ V) ∨ (¬E ∧ F) = E ∨ F. Isso dá V independente de E. Espere, erro: (¬E ∧ ¬F) com ¬F = F resulta em F, então fica E ∨ F = V. Portanto, o exclusivo com ¬F não força E. Precisamos refazer: a proposição "Ou Elton é ou Fabiana não é" é ambígua, mas a interpretação lógica padrão em muitas bancas é que "ou...ou" é uma disjunção exclusiva entre duas proposições: E e ¬F. O valor verdade de "E XOR ¬F" é (E ∨ ¬F) ∧ ¬(E ∧ ¬F). Simplificando: (E ∨ ¬F) ∧ (¬E ∨ F). Com F=V, ¬F=F, então: (E ∨ F) ∧ (¬E ∨ V) = (V) ∧ (V) = V, novamente tautologia. Na verdade, com F=V, a proposição é verdadeira independentemente de E. Portanto, é impossível determinar E a partir de III exclusivo. Isso sugere que a interpretação inclusiva (E ∨ ¬F) também dá tautologia com F=V. Ou seja, com F=V, III é verdadeiro qualquer que seja E. Portanto, o valor de E não é fixado por III. Precisamos de outra restrição. Notemos que a alternativa E é verdadeira tanto para E=V quanto para E=F? Com A=F, B=F, C=F, D=V, F=V:

• Se E=V: ¬A ∨ ¬E = V ∨ F = V.

• Se E=F: ¬A ∨ ¬E = V ∨ V = V.

Sempre V. Mas a alternativa A (E→C) seria:

• Se E=V: V→F = F.

• Se E=F: F→F = V.

Para evitar duas alternativas verdadeiras, E deve ser V. Mas como garantir? Na verdade, a questão pede "é logicamente verdadeiro afirmar que" – ou seja, a conclusão deve ser uma consequência lógica das premissas. A alternativa E é verdadeira em todos os modelos que satisfazem as premissas? Verifiquemos se existe um modelo com E=F que satisfaça todas as premissas. Já vimos que sim, desde que III seja interpretado de forma que permita E=F. Com E=F, III: inclusivo E∨¬F = F∨F = F, o que seria falso. Portanto, com E=F, III seria falso se for inclusivo. Mas com F=V, ¬F=F, então E∨¬F = F∨F = F. Para que III seja verdadeiro, E deve ser V. Idem para exclusivo: (E∧¬F) ∨ (¬E∧F) = (E∧F) ∨ (¬E∧V) = (F) ∨ (¬E) = ¬E. Para ser verdadeiro, ¬E deve ser V, ou seja, E=F. Agora temos uma contradição! Na interpretação inclusiva, III exige E=V; na exclusiva, III exige E=F. Qual é a correta? Reescrevendo a frase: "Ou Elton é ou Fabiana não é." Em lógica, o "ou...ou" clássico é exclusivo. Mas a frase em português pode ser ambígua. Em muitos concursos, usa-se o "ou" inclusivo, e o "ou...ou" exclusivo é explicitamente indicado como "ou...ou...mas não ambos". Como não há indicação, a banca VUNESP costuma usar "ou" como inclusivo em suas questões. Portanto, adotamos III como E ∨ ¬F. Com F=V, E∨F = V, então III é verdadeiro independente de E? Não: E∨F é sempre V, pois F é V. Logo, III é tautologicamente verdadeiro, e não impõe restrição sobre E. Então E pode ser V ou F. Testemos as alternativas quando E=F: A: E→C = F→F = V → verdadeira. B: ¬B∧¬D = V∧F = F C: F→A = V→F = F D: ¬D∨A = F∨F = F E: ¬A∨¬E = V∨V = V → verdadeira. Duas alternativas verdadeiras. Portanto, a conclusão não é única. Contudo, o gabarito oficial é E, indicando que a banca considera que E deve ser V. Isso ocorre porque a maioria das bancas interpreta "ou...ou" como exclusivo, e adota a tabela verdade que força E=V. Mas como mostramos, com exclusivo, E deve ser F para que a proposição seja verdadeira? Vamos recalcular cuidadosamente o exclusivo: A fórmula do exclusivo XOR é (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q). Para p=E, q=¬F. Com F=V, ¬F=F. Então p=E, q=F. XOR(E,F) = (E ∨ F) ∧ ¬(E ∧ F) = (E ∨ V) ∧ ¬(E ∧ V) = V ∧ ¬(E) = ¬E. Para que XOR seja V, ¬E deve ser V, ou seja, E=F. Então exclusivo exige E=F. Isso faria com que as alternativas A e E fossem verdadeiras novamente? Se E=F, A é V, E é V. Então continua. Portanto, é inconsistente. Provavelmente a interpretação correta é que "ou...ou" é usado como disjunção exclusiva entre E e "Fabiana não é", mas com a ressalva que Fabiana é (F=V), então a proposição reduz a "ou Elton é ou não"? Na verdade, a banca pode considerar que "Fabiana não é" é a negação de F, então a proposição é "E XOR ¬F". Já vimos que isso equivale a ¬E, forçando E=F. Mas então alternativas A e E seriam ambas verdadeiras. Isso não é possível. Concluímos que a única saída é que a banca considera III como implicação material? Não. Voltemos ao enunciado: "III. Ou Elton é ou Fabiana não é." Muitas vezes, em lógica de argumentação, esse tipo de frase é tratado como disjunção inclusiva simples (∨). E como F é verdade, a disjunção é verdadeira independente de E, logo E é livre. Aí temos múltiplos modelos. Mas o gabarito é E, então a banca deve ter assumido que E é V. Talvez tenham usado a equivalência lógica de que "ou Elton é ou Fabiana não é" é o mesmo que "se Fabiana é, então Elton é" (F → E). De fato, E ∨ ¬F é equivalente a F → E. Com F=V, F→E exige E=V. Então III (como E∨¬F) exige E=V. Assim, a banca trata o "ou" como inclusivo e a presença de F=V força E=V para que a disjunção seja verdadeira? Mas novamente, E∨V é sempre V, não força. No entanto, se considerarmos que a disjunção inclusiva deve ser verdadeira, e sabemos que ¬F é F, então E ∨ F = V sempre, não força E. A única maneira de forçar E é se a disjunção for uma conjunção? Não. Acho que a confusão surge porque a banca pode ter entendido III como "ou Elton é, ou Fabiana não é, e não ambos" (exclusivo). Já calculamos que exclusivo com F=V dá ¬E, ou seja, E=F. Isso daria alternativa E falso. Então não. A solução mais plausível é que a banca considerou III como E ∨ ¬F e, ao combinar com as demais proposições, usou também a premissa I (A→B) e II (C∨D) e IV (¬B), V (¬C), VI (F) para deduzir que A=F, B=F, C=F, D=V, F=V. Então sobrou E livre. Mas a questão pede uma afirmação que seja logicamente verdadeira, ou seja, que seja consequência necessária das premissas. A única que é verdadeira em todos os modelos que satisfazem as premissas? Vamos listar todos os modelos possíveis. Com as premissas: I: A→B II: C∨D III: E∨¬F (interpretação inclusiva) IV: ¬B V: ¬C VI: F De IV: B=F; V: C=F; VI: F=V. Então I: A→F ⇒ A=F. II: F∨D ⇒ D=V. III: E∨F (pois ¬F=F) ⇒ E∨V = V (tautologia). Portanto, E pode ser V ou F. Assim, há dois modelos: M1: A=F, B=F, C=F, D=V, E=V, F=V; M2: A=F, B=F, C=F, D=V, E=F, F=V. Em M1, as alternativas: A: E→C = V→F = F B: ¬B∧¬D = V∧F = F C: F→A = V→F = F D: ¬D∨A = F∨F = F E: ¬A∨¬E = V∨F = V Em M2: A: F→F = V B: V∧F = F C: V→F = F D: F∨F = F E: V∨V = V Portanto, a única alternativa que é verdadeira em ambos os modelos é a alternativa E. De fato, ¬A∨¬E: em M1 (¬A=V, ¬E=F) => V; em M2 (¬A=V, ¬E=V) => V. Logo, E é consequência lógica. As demais alternativas são falsas em pelo menos um modelo (A é falsa em M1, C falsa em ambos? C é falsa em ambos, mas verifiquemos: em M1, C=F; em M2, C=F? Na verdade, F→A: F→F = V em M2, então C é verdadeira em M2? Recalcule: C: F→A. Em M2, F=V, A=F => V→F = F. Então C é falsa em M2 também. Portanto, C é falsa em ambos. A: E→C: em M1 V→F = F; em M2 F→F = V. Então A é verdadeira apenas em M2. Logo, não é consequência lógica. A alternativa E, porém, é verdadeira em todo modelo. Portanto, a resposta é letra E.

Assim, a chave está em perceber que E pode assumir qualquer valor, mas a disjunção ¬A∨¬E é sempre verdadeira porque ¬A é verdadeiro (A é falso). Dessa forma, independentemente de E, a expressão é verdadeira.

Alternativa A — ❌ Incorreta

E → C: se Elton é (V), Cleusa é (F) resulta em falso no modelo onde E=V. Logo, não é logicamente verdadeira.

Alternativa B — ❌ Incorreta

¬B ∧ ¬D: Bruna não é (V) e Davi não é (F) resulta em falso.

Alternativa C — ❌ Incorreta

F → A: Fabiana é (V) e André é (F) resulta em falso.

Alternativa D — ❌ Incorreta

¬D ∨ A: Davi não é (F) ou André é (F) resulta em falso.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

¬A ∨ ¬E: André não é (V) ou Elton não é (?) – como ¬A é V, a disjunção é verdadeira independentemente de ¬E. Portanto, é uma verdade lógica.

Gabarito: letra E