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Questão de Matemática Financeira — Sistema de Amortização Constante (SAC) — VUNESP 2023

Matemática FinanceiraSistema de Amortização Constante (SAC)
Código
vu078696
Banca
VUNESP
Órgão
TCM-SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor de Controle Externo - Especialidade: Ciências Atuariais
João contratou um empréstimo imobiliário de R$ 540.000,00 junto a uma entidade financeira a uma taxa de juros efetiva de 3% ao ano durante 30 anos. Tendo em vista que os pagamentos são anuais e a entidade financeira adotou o Sistema de Amortização Constante (SAC), assinale a alternativa que reflete o montante de juros acumulado que João pagou do 1º ao 15º ano.
  1. AR$ 158.760,00.
  2. BR$ 168.480,00.
  3. CR$ 177.660,00.
  4. DR$ 186.300,00.
  5. ER$ 194.400,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — R$ 186.300,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Sistema de Amortização Constante (SAC) – Cálculo de Juros Acumulados

Gabarito: Alternativa D (R$ 186.300,00). O montante de juros pagos do 1º ao 15º ano é a soma dos 15 primeiros termos de uma PA de razão negativa, onde o primeiro termo é o juro do 1º ano e o 15º termo é o juro do 15º ano. Para o SAC com financiamento de R$ 540.000,00 a 3% a.a., em 30 anos, a amortização anual é constante: R$ 18.000,00. Os juros decrescem linearmente.

Resolução Passo a Passo

  1. Amortização constante:

    A=En=540.00030=18.000A = \frac{E}{n} = \frac{540.000}{30} = 18.000

  1. Juros do 1º ano:

    J1=i×E=0,03×540.000=16.200J_1 = i \times E = 0,03 \times 540.000 = 16.200

  1. Razão da PA dos juros:

    r=−i×A=−0,03×18.000=−540r = -i \times A = -0,03 \times 18.000 = -540

  1. Juros do 15º ano:

    J15=J1+(15−1)×r=16.200+14×(−540)=16.200−7.560=8.640J_{15} = J_1 + (15-1) \times r = 16.200 + 14 \times (-540) = 16.200 - 7.560 = 8.640

  1. Soma dos juros do 1º ao 15º ano (soma dos 15 primeiros termos da PA):

    S15=(J1+J15)×n2=(16.200+8.640)×152=24.840×152=12.420×15=186.300S_{15} = \frac{(J_1 + J_{15}) \times n}{2} = \frac{(16.200 + 8.640) \times 15}{2} = \frac{24.840 \times 15}{2} = 12.420 \times 15 = 186.300

Portanto, o valor correto é R$ 186.300,00.

Análise das Alternativas

Alternativa A – ❌ Incorreta (R$ 158.760,00)

Este valor é inferior ao correto. Possivelmente decorre de erro no cálculo do número de termos (talvez usando 14 anos em vez de 15) ou confusão na soma dos juros anuais.

Alternativa B – ❌ Incorreta (R$ 168.480,00)

Também um valor abaixo do correto. Pode vir de um equívoco na média dos juros ou na aplicação da fórmula da PA com razão errada.

Alternativa C – ❌ Incorreta (R$ 177.660,00)

Próximo, mas ainda incorreto. Provavelmente resultado de um pequeno desvio aritmético, como usar J_1 = 16.200 e J_15 = 9.180 (se a razão fosse –468, por exemplo).

Alternativa D – ✅ Correta (R$ 186.300,00) ⟵ GABARITO

Exatamente o valor calculado pela soma da PA dos juros. Confirma a aplicação correta das propriedades do SAC.

Alternativa E – ❌ Incorreta (R$ 194.400,00)

Valor acima do correto. Pode surgir se o aluno esquecer que os juros decrescem e simplesmente multiplicar o juro do primeiro ano por 15 (16.200 × 15 = 243.000, não este valor) ou usar outra combinação incorreta.

PEGA ESSA DICA!

No SAC, os juros formam uma PA decrescente de razão –i×A. A soma de juros até o período k é rapidamente obtida pela fórmula da PA. Memorize essa propriedade para resolver questões similares sem precisar simular cada ano.

Conclusão: A única alternativa que corresponde ao cálculo correto dos juros acumulados do 1º ao 15º ano no SAC é a letra D.

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