Questão de Matemática Financeira — Juros compostos — VUNESP 2023

Matemática Financeira – Juros Compostos

Gabarito: letra C (8,31 meses). O problema fornece os logaritmos naturais de 1,5 e 1,05 para que se aplique diretamente a fórmula do montante em juros compostos: $M = C (1+i)^n$. Como os juros foram de R$ 25.000,00, o montante é R$ 75.000,00. Isolando $n$ com logaritmos, obtém-se $n = \frac{\ln(1,5)}{\ln(1,05)} = \frac{0,4055}{0,0488} \approx 8,31$ meses.

A banca testa a capacidade de aplicar a fórmula e usar logaritmos fornecidos. Não há pegadinha conceitual – é cálculo direto.

Etapas da resolução

1. Identificar os dados:

   • Capital $C = 50.000$

   • Taxa $i = 5\% = 0,05$ ao mês

   • Juros $J = 25.000$

   • Montante $M = C + J = 75.000$

1. Aplicar a fórmula dos juros compostos:

   $M = C \cdot (1+i)^n$

   $75.000 = 50.000 \cdot (1,05)^n$

   $(1,05)^n = \frac{75.000}{50.000} = 1,5$

1. Aplicar logaritmo natural (dado no enunciado):

   $\ln(1,05^n) = \ln(1,5)$

   $n \cdot \ln(1,05) = \ln(1,5)$

   $n = \frac{\ln(1,5)}{\ln(1,05)}$

1. Substituir os valores fornecidos:

   $n = \frac{0,4055}{0,0488}$

1. Realizar a divisão:

   $0,4055 \div 0,0488 = 8,309... \approx 8,31$

Portanto, o período é de aproximadamente 8,31 meses.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

8,22 meses. Resultado de um erro de cálculo, provavelmente divisão 0,4055/0,0493 (logaritmo errado) ou inversão dos valores.

Alternativa B — ❌ Incorreta

8,26 meses. Também decorre de pequeno desvio na divisão; o correto é 8,31.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

8,31 meses. Exato resultado da divisão 0,4055/0,0488.

Alternativa D — ❌ Incorreta

8,42 meses. Valor que surgiria se, por exemplo, usasse 0,4055/0,0481 (ln1,05 invertido) ou outro erro aritmético.

Alternativa E — ❌ Incorreta

8,47 meses. Também resultado de uma operação incorreta, possivelmente 0,4055/0,0479.

Gabarito: letra C