Questão de Matemática Financeira — Porcentagem — VUNESP 2023
Matemática Financeira›Porcentagem
Código
vu078701
Banca
VUNESP
Órgão
TCM-SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor de Controle Externo - Especialidade: Ciências Atuariais
Suponha que determinada instituição bancária concedeu um empréstimo a uma taxa de 3,5% ao mês para um cliente com o prazo definido de 1 mês e meio. Assumindo que ela deseja maximizar os juros a serem ganhos com essa operação, assinale a alternativa que representa qual seria o sistema de juros que ela deveria empregar.
ACobrar juros simples de 3,5% ao mês durante todo o período.
BCobrar um sistema misto: 3,5% ao mês por juros compostos durante o primeiro mês e 3,5% ao mês por juros simples no restante do período.
CCobrar juros compostos de 3,5% durante todo o período.
DCobrar um sistema misto: 3,5% ao mês por juros simples durante o primeiro mês e 3,5% ao mês por juros compostos no restante do período.
ECobrar um sistema misto: 3,5% ao mês durante metade do período e 3,5% ao mês por juros simples no restante do período.
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GabaritoB — Cobrar um sistema misto: 3,5% ao mês por juros compostos durante o primeiro mês e 3,5% ao mês por juros simples no restante do período.
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Maximização de juros em período fracionário
Gabarito: letra B. Para maximizar os juros em um período de 1,5 mês com taxa de 3,5% ao mês, a instituição deve empregar o sistema misto: juros compostos no primeiro mês e juros simples no restante (0,5 mês). Essa combinação (convenção linear) produz o maior montante, superior ao juro composto puro (exponencial) e ao juro simples puro.
A questão aborda o efeito de períodos fracionários na capitalização. Em matemática financeira, existem duas convenções comuns:
Convenção exponencial: juros compostos para todo o período, inclusive a fração, utilizando potência com expoente fracionário.
Convenção linear (ou mista): juros compostos para a parte inteira do período e juros simples para a fração restante.
Para uma mesma taxa, a convenção linear gera um montante ligeiramente maior do que a exponencial. Vamos comparar os valores para um principal de R$ 100,00:
A banca explora a falsa intuição de que juros compostos sempre rendem mais que simples, mesmo em períodos fracionários. Na verdade, para frações de período, o uso de juros simples sobre o montante composto (convenção linear) supera o composto puro. O candidato que aplica cegamente (1+i)^n para n não inteiro perde a oportunidade de maximizar.
1A) Simples puro105,25
2B) Composto + simples105,31
3C) Composto puro105,30
4D) Simples + composto105,30
5E) Misto ambíguoinferior a B
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Alternativa A — ❌ Incorreta
Juros simples durante todo o período geram o menor montante (105,25). A banca coloca esta opção para quem não considera a capitalização composta no primeiro mês.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Aplicar juros compostos no primeiro mês (parte inteira) e juros simples nos 0,5 mês restantes (fração) produz o maior montante (105,31125). É a chamada convenção linear, que maximiza os juros.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Juros compostos puros (exponencial) para todo o período rendem menos (≈105,30) do que a mistura da alternativa B. Embora seja superior ao simples puro, não é a melhor opção para a instituição.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Juros simples no primeiro mês seguido de juros compostos na fração equivale matematicamente ao composto puro (105,30), pois (1+0,035×1) × (1,035)^0,5 = (1,035)^1,5. Portanto, não maximiza tanto quanto B.
Alternativa E — ❌ Incorreta
“Metade do período com juros compostos e metade com simples” é ambíguo e não especifica a ordem. Qualquer interpretação razoável (ex.: 0,75 mês de cada) gera montante inferior ao da alternativa B.
PEGA ESSA DICA!
Em provas de matemática financeira, quando o período não é inteiro, lembre-se: a convenção linear (composto na parte inteira + simples na fração) sempre dá um montante maior que a convenção exponencial para a mesma taxa. Se a questão pedir maximização, essa é a escolha.