Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu078703

SE LIGUE NESSA!

Esta questão depende de um texto-base/tabela compartilhado com outras questões da mesma prova, e esse texto não está disponível. Os dados que faltam (valores, tabela, RCL, datas do caso) estão nele. O raciocínio abaixo é o método — confira os valores no enunciado original.

Tamanho da amostra para intervalo de confiança da média

Gabarito: letra C. O tamanho da amostra para estimar a média com erro máximo $E$ , desvio padrão populacional $\sigma$ e nível de confiança $1-\alpha$ é dado por $n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$ . Com os dados do enunciado — $z_{\alpha/2} = 2{,}33$ , $\sigma = 6$ e $E = 2$ — o cálculo resulta em $n \approx 48{,}86$ , cujo valor mais próximo entre as alternativas é 50 (letra C).

A fórmula do tamanho amostral decorre diretamente da expressão do erro máximo (ou margem de erro) do intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é conhecida. Nesse caso, o intervalo é construído como $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , e o termo $z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ é exatamente o erro $E$ tolerável. Isolando $n$ :

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \quad \Rightarrow \quad n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2

Substituindo os valores fornecidos:

n = \left(\frac{2{,}33 \times 6}{2}\right)^2 = \left(\frac{13{,}98}{2}\right)^2 = (6{,}99)^2 \approx 48{,}86

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e o erro não pode exceder o tolerável, arredonda-se para cima: $n = 49$ . Entre as alternativas, o número mais próximo é 50.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de tamanho amostral, o arredondamento é sempre para cima — se você arredondar para baixo, o erro real ultrapassa o tolerável. Grave a fórmula $n = \left(\dfrac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2$ e identifique no enunciado quem é $E$ (a margem de erro, geralmente expressa como "erro tolerável" ou "não se distanciar mais do que"), quem é $\sigma$ (desvio padrão populacional) e quem é $z$ (valor crítico da normal para o nível de confiança).

1Fórmula: n = (z·σ/E)²
2Substitui: (2,33×6/2)²
3Resulta ≈ 48,86
4Arredonda p/ cima: 49
5Mais próximo: 50

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Alternativa A — ❌ Incorreta

30 é um valor que resultaria de um erro $E$ maior (por exemplo, $E \approx 2{,}55$ ) ou de um nível de confiança menor. Não corresponde ao cálculo com os dados fornecidos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

40 também não fecha com o cálculo: com $z = 2{,}33$ , $\sigma = 6$ e $E = 2$ , o resultado é $n \approx 48{,}86$ , não 40. Esse valor seria obtido com um $z$ menor (confiança mais baixa) ou um $E$ maior.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo $n = \left(\dfrac{2{,}33 \times 6}{2}\right)^2 = (6{,}99)^2 \approx 48{,}86$ arredonda para 49, e o número mais próximo entre as opções é 50. É exatamente o que a alternativa afirma.

Alternativa D — ❌ Incorreta

60 é um valor que seria obtido com um nível de confiança mais alto (por exemplo, $z \approx 2{,}58$ para 99%) ou com um erro menor ( $E \approx 1{,}8$ ). Não é o resultado com os dados do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

70 é ainda mais distante do cálculo correto. Para chegar a 70, seria necessário $z \approx 2{,}79$ (confiança próxima de 99,5%) ou $E \approx 1{,}67$ . Não há suporte nos dados fornecidos.

Gabarito: letra C — o tamanho da amostra é aproximadamente 49, e o número mais próximo é 50.