Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — VUNESP 2023

Distribuição de Poisson: cálculo de probabilidades

Gabarito: letra E. A probabilidade de ocorrer pelo menos um evento é calculada pelo complemento da probabilidade de não ocorrer nenhum evento, utilizando a função de probabilidade da distribuição de Poisson, dada por $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$, onde $\lambda$ é a média de ocorrências no intervalo.

Para resolver, primeiro determinamos a média esperada ($\lambda$) de requerimentos indeferidos por semana. Com $n = 40$ requerimentos e uma probabilidade de indeferimento $p = 5\% = 0,05$, temos:

$\lambda = n \cdot p = 40 \cdot 0,05 = 2$

A probabilidade de que em dada semana seja indeferido pelo menos 1 documento é $P(X \geq 1)$. Pela regra do complemento, temos:

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$

Substituindo na fórmula de Poisson para $k=0$ e $\lambda=2$ (com $e \approx 2,7$ conforme solicitado):

$P(X = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx \frac{1}{2,7^2} = \frac{1}{7,29} \approx 0,137$

Portanto, a probabilidade procurada é:

$P(X \geq 1) = 1 - 0,137 = 0,863$, ou seja, aproximadamente $86\%$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor calculado de $86,3\%$ é o que mais se aproxima da alternativa apresentada, confirmando a aplicação correta da distribuição de Poisson para o cenário de eventos independentes com taxa média constante.

Gabarito: letra E