Estatística · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu078705

EstatísticaProbabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência

Código: vu078705
Banca: VUNESP
Órgão: TCM-SP
Ano: 2023
Nível: Superior

Cargo: Auditor de Controle Externo - Especialidade: Ciências Atuariais

A rede de lojas Varejeira, ao receber de um fornecedor um lote de mercadorias, decidirá aceitá-lo ou não, usando um método chamado amostragem de aceitação pelo qual avalia a probabilidade de o lote conter itens defeituosos. Esse método se desenvolve do seguinte modo: na etapa A, uma equipe de avaliadores examina uma amostra de n itens do lote, escolhidos aleatoriamente e sem reposição, e o aprova somente se todos os itens da amostra estiverem perfeitos. A avaliação do lote só prossegue para uma nova etapa (B) se ele for aprovado em A, caso contrário, ele é definitivamente descartado já nessa etapa. Aprovado em A, o lote é recomposto e segue para a etapa B, na qual outra equipe aplica teste idêntico ao da A, inclusive quanto ao tamanho n da amostra. Aprovado também em B, o lote é definitivamente aceito.Suponha que a rede Varejeira receba um lote com 75 itens, dos quais 1 é defeituoso, e o submeta ao processo descrito acima usando n = 3. Nesse caso, o valor mais próximo da probabilidade de o lote não ser aceito é

A8%.
B5%.
C4%.
D2%.
E1%.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 8%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

SE LIGUE NESSA!

Esta questão depende de um texto-base/tabela compartilhado com outras questões da mesma prova, e esse texto não está disponível aqui. Os dados que faltam (valores, tabela, RCL, datas do caso) estão nele. O raciocínio abaixo é o método — confira os valores no enunciado original.

Amostragem de aceitação: probabilidade de rejeição em duas etapas

Gabarito: letra A (8%). A probabilidade de o lote não ser aceito é a probabilidade de ele ser reprovado na etapa A ou de ser aprovado em A e reprovado na etapa B. Como o lote tem 75 itens com 1 defeituoso e a amostra é de 3 itens sem reposição, a probabilidade de reprovação em uma etapa é a probabilidade de o item defeituoso estar na amostra, que é $3/75 = 0{,}04$ (4%). Como as duas etapas são independentes (o lote é recomposto), a probabilidade de não ser aceito é $0{,}04 + 0{,}96 \times 0{,}04 = 0{,}0784$ , aproximadamente 8%.

O método descrito é um plano de amostragem de aceitação dupla, em que o lote só é aceito se passar por duas inspeções sucessivas, cada uma com amostra de tamanho $n=3$ retirada sem reposição. A probabilidade de o lote ser reprovado em uma etapa é a probabilidade de que o único item defeituoso esteja na amostra de 3 itens. Como a amostra é retirada sem reposição, a probabilidade de o defeituoso ser incluído é exatamente a proporção de itens amostrados: $3/75 = 1/25 = 0{,}04$ .

A probabilidade de o lote ser aprovado em uma etapa é o complemento: $1 - 0{,}04 = 0{,}96$ . Como o lote é recomposto entre as etapas, a aprovação em A e a aprovação em B são eventos independentes — a composição do lote volta a ser a mesma (74 perfeitos e 1 defeituoso). Portanto, a probabilidade de o lote ser aceito (passar nas duas etapas) é $0{,}96 \times 0{,}96 = 0{,}9216$ , e a probabilidade de não ser aceito é o complemento: $1 - 0{,}9216 = 0{,}0784$ , ou seja, 7,84%, que arredonda para 8%.

A pegadinha clássica aqui é calcular apenas a probabilidade de reprovação em uma etapa (4%) e marcar a alternativa C, esquecendo que o lote também pode ser reprovado na segunda etapa, após ter passado na primeira. O candidato que não soma a probabilidade de reprovação em B condicionada à aprovação em A erra a questão.

Critério	Etapa A	Etapa B	Processo completo (A e B)
Probabilidade de reprovação	4% (3/75)	4% (3/75)	7,84% ≈ 8% (0,04 + 0,96 × 0,04)
Probabilidade de aprovação	96% (72/75)	96% (72/75)	92,16% (0,96 × 0,96)
Condição para ocorrer	Sempre avaliada	Somente se aprovado em A	Lote aceito só se aprovado em ambas
Dependência entre etapas	—	Independente (lote recomposto)	Eventos independentes entre si

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade de o lote não ser aceito é a probabilidade de reprovação em A ou de aprovação em A e reprovação em B. Como as etapas são independentes (lote recomposto), temos:

P(\text{não aceito}) = P(\text{reprovado em A}) + P(\text{aprovado em A}) \times P(\text{reprovado em B})

= 0{,}04 + 0{,}96 \times 0{,}04 = 0{,}04 + 0{,}0384 = 0{,}0784 \approx 8\%

Portanto, a alternativa A está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 5% não corresponde a nenhuma probabilidade relevante do problema. A probabilidade de reprovação em uma única etapa é 4%, e a probabilidade de não aceitação (considerando as duas etapas) é 7,84%. O valor 5% é um distrator sem fundamento no cálculo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 4% corresponde à probabilidade de reprovação em uma única etapa (a probabilidade de o item defeituoso estar na amostra de 3 itens). O candidato que calcula apenas isso e esquece que o lote pode ser reprovado também na etapa B marca esta alternativa. A probabilidade total de não aceitação é maior, pois inclui a reprovação na segunda etapa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2% não corresponde a nenhuma probabilidade relevante do problema. Não há base para esse número no cálculo da amostragem dupla.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 1% também não corresponde a nenhuma probabilidade relevante. A probabilidade de reprovação em uma etapa é 4%, e a probabilidade de não aceitação é 7,84% — nenhum desses valores se aproxima de 1%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a probabilidade de reprovação em uma única etapa (4%) e a probabilidade de não aceitação do lote no processo completo (duas etapas). O candidato que calcula apenas $3/75 = 4\%$ e marca a alternativa C esquece que o lote ainda pode ser reprovado na etapa B, após ter passado na etapa A. Lembre-se: a probabilidade de não aceitação é a união de dois eventos mutuamente exclusivos — reprovar em A ou reprovar em B (dado que passou em A).

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de amostragem de aceitação com múltiplas etapas, sempre pergunte: "o lote pode ser rejeitado em mais de uma etapa?" Se sim, a probabilidade de rejeição total é a soma das probabilidades de rejeição em cada etapa, ponderadas pela probabilidade de o lote ter chegado até lá. Monte a árvore de decisão:

A probabilidade de rejeição é a soma dos caminhos que terminam em "Rejeitado": $0{,}04 + 0{,}96 \times 0{,}04 = 0{,}0784$ .

Gabarito: letra A.

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