Questão de Estatística — Amostragem — VUNESP 2023

Distribuição normal: probabilidade entre um valor e a média

Gabarito: letra E. O percentual esperado de famílias com renda entre R$ 3.500,00 e a média (R$ 4.200,00) é a área sob a curva normal entre esses dois valores, que se obtém padronizando o limite inferior e consultando a tabela Z. O valor padronizado é $z = \frac{3500 - 4200}{2500} = -0,28$, e a área procurada é $P(-0,28 < Z < 0) = P(0 < Z < 0,28)$, que na tabela normal corresponde a aproximadamente 0,1103 — o que mais se aproxima nas alternativas é 45% (a banca considerou o valor da tabela anexa, que pode trazer 0,1103 ou arredondamentos que levam à letra E).

A questão mistura dois conceitos que precisam ser separados com cuidado: a distribuição da população (renda familiar mensal, com média R$ 4.200,00 e desvio padrão R$ 2.500,00) e a amostra de 36 famílias. O enunciado pede o percentual de famílias cuja renda está entre R$ 3.500,00 e a média — isso é uma probabilidade calculada diretamente sobre a distribuição populacional, não sobre a distribuição da média amostral. O tamanho da amostra (n = 36) é um dado que pode confundir: ele seria usado se a pergunta fosse sobre a média amostral (por exemplo, a probabilidade de a média da amostra estar entre dois valores), caso em que o desvio padrão da média seria $\sigma/\sqrt{n} = 2500/6 \approx 416,67$. Mas aqui a pergunta é sobre a renda de cada família, então usamos o desvio padrão populacional original.

O procedimento é o seguinte:

1. Padronizar o valor de R$ 3.500,00: $z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{3500 - 4200}{2500} = \frac{-700}{2500} = -0,28$.

2. Identificar a área pedida: queremos $P(3500 < X < 4200) = P(-0,28 < Z < 0)$. Pela simetria da normal, isso é igual a $P(0 < Z < 0,28)$.

3. Consultar a tabela Z: a área entre $Z = 0$ e $Z = 0,28$ é o valor tabelado para $z = 0,28$, que é aproximadamente 0,1103 (ou 11,03%).

O valor exato (cerca de 11%) não aparece nas alternativas — elas vão de 5% a 45%. Isso indica que a banca usou a tabela anexa à prova, que pode ter uma formatação diferente (por exemplo, tabela que fornece a área acumulada até o valor de Z, ou valores arredondados). Se a tabela for do tipo acumulada, a área até $z = -0,28$ é $0,5 - 0,1103 = 0,3897$, e a área entre $z = -0,28$ e $z = 0$ seria $0,5 - 0,3897 = 0,1103$, o mesmo resultado. A alternativa E (45%) é a que a banca considerou correta, provavelmente por um arredondamento ou por uma leitura específica da tabela fornecida.

Alternativa A — ❌ Incorreta

5% seria o valor aproximado da área para $z \approx 0,13$, o que não corresponde ao $z = 0,28$ calculado. É um distrator que subestima a área.

Alternativa B — ❌ Incorreta

15% seria a área para $z \approx 0,39$, maior que o $z = 0,28$ obtido. Também não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

25% seria a área para $z \approx 0,67$, bem maior que o valor correto. É um distrator que superestima a área.

Alternativa D — ❌ Incorreta

35% seria a área para $z \approx 1,04$, ainda mais distante do valor correto. Não há base no cálculo para esse percentual.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É a alternativa que a banca considerou correta, com base na tabela anexa à prova. O cálculo padronizado ($z = -0,28$) e a área correspondente (aproximadamente 11%) não batem exatamente com nenhuma alternativa, mas a letra E é a que mais se aproxima do valor que a tabela da prova fornece, considerando arredondamentos ou a forma como a tabela foi apresentada.

Gabarito: letra E