Questão de Matemática — Regra de Três — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 1001000 pessoas (alternativa C).

A ideia por trás

A razão e a proporção descrevem como duas quantidades se relacionam por uma divisão. Quando dizemos que a razão entre vacinados e não vacinados é de 8 para 3, isso significa que, para cada 8 vacinados, há 3 não vacinados; essa relação se mantém se multiplicarmos ambos os números por um mesmo fator. A diferença entre as quantidades é dada, e isso nos permite descobrir esse fator, pois a diferença entre 8 partes e 3 partes é 5 partes. Assim, podemos encontrar o valor de cada parte e, consequentemente, o total, que é a soma das partes. Nesta questão, usamos a razão e a diferença para achar o fator k, depois calculamos vacinados e não vacinados e somamos.

O que a questão dá

• razão entre vacinados e não vacinados = 8 para 3

• diferença entre vacinados e não vacinados = 455000 pessoas

O que queremos: o número total de pessoas no município

Passo 1 — Escrever as quantidades em função de k

A razão 8:3 significa que vacinados e não vacinados são múltiplos de 8 e 3, respectivamente. Para trabalhar com números desconhecidos, usamos uma constante k que representa o tamanho de cada parte da razão. Assim, V = 8k e N = 3k, onde k é um número positivo.

Por que esta fórmula: Essa é a forma de representar uma razão: se a razão entre V e N é 8:3, então existe um k tal que V = 8k e N = 3k. Isso porque a razão é uma divisão, e multiplicar ambos os termos por k mantém a proporção.

De onde vem cada valor: $V$ = enunciado: vacinados · $N$ = enunciado: não vacinados · $k$ = constante de proporcionalidade (a descobrir)

Passo 2 — Montar a equação da diferença

O enunciado dá a diferença entre vacinados e não vacinados, que é 455000. Como sabemos que há mais vacinados (8k) do que não vacinados (3k), a diferença é V - N. Substituímos as expressões do passo 1 para obter uma equação com k.

Por que esta fórmula: A diferença entre dois números é a subtração do menor do maior. Aqui, V é maior que N, então V - N = 455000. Essa é a relação que liga os dados do problema à incógnita k.

De onde vem cada valor: $V$ = passo 1: V = 8k · $N$ = passo 1: N = 3k · $455000$ = enunciado: diferença entre vacinados e não vacinados

Passo 3 — Calcular o valor de k

A equação do passo 2 tem apenas uma incógnita, k. Resolvendo-a, descobrimos o fator que multiplica a razão, o que nos permitirá achar as quantidades reais.

Por que esta fórmula: Para isolar k, subtraímos os termos com k: 8k - 3k = 5k. Depois, dividimos ambos os lados por 5, pois k está multiplicado por 5.

De onde vem cada valor: $455000$ = passo 2: diferença · $5$ = passo 2: 8 - 3 = 5

Passo 4 — Calcular o número de vacinados

Com k = 91000, podemos encontrar quantas pessoas são vacinadas, usando a expressão V = 8k. Isso é necessário para depois somar com os não vacinados.

Por que esta fórmula: A razão 8:3 indica que os vacinados correspondem a 8 partes, cada parte valendo k. Multiplicamos 8 por k para obter o total de vacinados.

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: razão 8 para 3 · $k$ = passo 3: 91000

Passo 5 — Calcular o número de não vacinados

Assim como fizemos para os vacinados, precisamos do número de não vacinados para somar e obter o total. Usamos a expressão N = 3k.

Por que esta fórmula: A razão 8:3 indica que os não vacinados correspondem a 3 partes, cada parte valendo k. Multiplicamos 3 por k.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: razão 8 para 3 · $k$ = passo 3: 91000

Passo 6 — Somar os dois grupos

O total de pessoas no município é a soma de vacinados e não vacinados. Com os valores dos passos 4 e 5, podemos somá-los.

Por que esta fórmula: O total é a união dos dois grupos, que são disjuntos, então basta somar as quantidades.

De onde vem cada valor: $V$ = passo 4: 728000 · $N$ = passo 5: 273000

Resposta: 1001000 pessoas (alternativa C)