O logotipo de uma repartição pública tem o formato de triângulo retângulo e, para efeito de ampliação ou redução, sabe-se que o maior lado desse logotipo mede 17/8 da medida do menor lado. Em uma propaganda, esse logotipo foi impresso com o menor lado medindo 4 cm e, portanto, a área ocupada, somente com a impressão desse logotipo, em cm² , foi de
A23.
B19.
C30.
D26.
E15.
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GabaritoE — 15.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 15 cm² (alternativa E).
A ideia por trás
Um triângulo retângulo tem um ângulo reto (90°) e três lados: os dois catetos, que formam o ângulo reto, e a hipotenusa, que é o lado oposto a esse ângulo e sempre o maior dos três. A área de qualquer triângulo é metade do produto da base pela altura; no triângulo retângulo, os catetos são perpendiculares, então um deles pode ser a base e o outro a altura, dando A = (cateto1 × cateto2)/2. A relação entre os lados é dada pelo Teorema de Pitágoras: a² + b² = c², onde c é a hipotenusa e a, b são os catetos. Isso significa que, conhecendo dois lados, o terceiro é determinado. Nesta questão, conhecemos o cateto menor e a razão entre a hipotenusa e esse cateto; precisamos achar o outro cateto para então calcular a área.
O que a questão dá
menor lado = 4 cm
maior lado = 17/8 do menor lado
O que queremos: a área do triângulo retângulo
Passo 1 — Calcular a hipotenusa
Precisamos do comprimento da hipotenusa para depois usar o Teorema de Pitágoras. O enunciado diz que o maior lado (hipotenusa) é 17/8 do menor lado (cateto), e o menor lado mede 4 cm.
Por que esta fórmula: A razão 17/8 significa que a hipotenusa é 17 partes para cada 8 partes do cateto. Para achar o valor, multiplicamos a razão pelo cateto.
De onde vem cada valor: = hipotenusa (maior lado) · = enunciado: menor lado = 4 cm
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar a razão pelo cateto, ou inverter a razão (usar 8/17).
Passo 2 — Achar o outro cateto por Pitágoras
Com a hipotenusa e um cateto, o Teorema de Pitágoras permite achar o outro cateto, que é necessário para a área.
Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras relaciona os três lados do triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Isolamos o cateto desconhecido.
b = √(c^2 - a^2)
De onde vem cada valor: = passo 1: 8,5 cm · = enunciado: 4 cm
b = sqrt8,5^2 - 4^2 = 7,5\ cm
NÃO CAIA NESSA!
Usar a hipotenusa como cateto na fórmula, ou errar a raiz quadrada (por exemplo, achar 7,5 em vez de 7,5).
Passo 3 — Calcular a área do triângulo
A área do triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, que agora são conhecidos.
Por que esta fórmula: A área de qualquer triângulo é (base × altura)/2. No triângulo retângulo, os catetos são perpendiculares, então um é base e o outro é altura.
De onde vem cada valor: = enunciado: 4 cm · = passo 2: 7,5 cm
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir por 2, obtendo 30 cm² (alternativa C).