Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Função de 1º Grau ou Função Afim, Problemas com Equação e Inequações — VUNESP 2023

MatemáticaFunção de 1º Grau ou Função Afim, Problemas com Equação e Inequações
Código
vu079375
Banca
VUNESP
Órgão
TJ-SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Escrevente Técnico Judiciário
Em uma casa de venda no varejo e no atacado, se um cliente comprar quantidades 80 < q ≤ 150 de cada produto A ou B, ele tem R$ 10,00 de desconto em cada unidade do produto A e R$ 15,00 de desconto em cada unidade do produto B. Se o cliente comprar quantidades q > 150, de cada produto, ele tem descontos unitários de R$ 15,00 no produto A e de R$ 20,00 no produto B. Sabendo que Fulano comprou 100 unidades de A e 50 unidades de B, pagando o valor total de R$ 11.500,00, e que Beltrano comprou 200 unidades de A e 300 unidades de B, pagando o total de R$ 34.000,00, quem comprar apenas uma unidade de cada produto pagará, nessa compra, o total de
  1. AR$ 155,00.
  2. BR$ 150,00.
  3. CR$ 165,00.
  4. DR$ 170,00.
  5. ER$ 160,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — R$ 170,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 145,00 (nenhuma alternativa; o gabarito D está incorreto).

A ideia por trás

O problema trata de preços com descontos por faixa de quantidade. O preço unitário sem desconto é o valor base que o cliente pagaria se não houvesse promoção. Quando a quantidade comprada de um produto cai em uma faixa, o desconto é aplicado sobre cada unidade. Para descobrir os preços base, usamos as compras de Fulano e Beltrano, que estão em faixas diferentes, montando um sistema de equações do 1º grau. A solução do sistema dá os preços sem desconto, e então aplicamos o desconto da faixa correta para a compra de 1 unidade de cada.

O que a questão dá

  • Fulano: 100 unidades de A e 50 de B, pagou R$ 11.500,00

  • Beltrano: 200 unidades de A e 300 de B, pagou R$ 34.000,00

  • Faixa 1: 80 < q ≤ 150 → desconto A = R$ 10,00, B = R$ 15,00

  • Faixa 2: q > 150 → desconto A = R$ 15,00, B = R$ 20,00

O que queremos: o valor total pago por quem comprar apenas 1 unidade de A e 1 unidade de B

Passo 1 — Identificar a faixa de desconto de cada compra

Antes de montar as equações, precisamos saber qual desconto aplicar a cada produto na compra de Fulano e Beltrano. O desconto depende da quantidade comprada de cada produto individualmente.

NÃO CAIA NESSA!

Aplicar o desconto de B em Fulano, mas 50 não está na faixa (80 < q ≤ 150).

Passo 2 — Montar a equação da compra de Fulano

Com os descontos identificados, escrevemos a relação entre preço unitário, quantidade e valor pago. Fulano comprou 100 de A (com desconto de 10) e 50 de B (sem desconto), então o total pago é a soma dos preços com desconto.

Por que esta fórmula: O valor pago é a soma das quantidades vezes o preço com desconto. Para A, o preço com desconto é (P_A - 10); para B, é P_B, pois não há desconto.

100⋅(PA−10)+50⋅PB=11500100 \cdot (P_A - 10) + 50 \cdot P_B = 11500

De onde vem cada valor: 100100 = enunciado: Fulano comprou 100 unidades de A · PAP_A = preço unitário de A sem desconto (incógnita) · 1010 = enunciado: desconto de R$ 10,00 em A na faixa 80 < q ≤ 150 · 5050 = enunciado: Fulano comprou 50 unidades de B · PBP_B = preço unitário de B sem desconto (incógnita) · 1150011500 = enunciado: Fulano pagou R$ 11.500,00

100⋅(PA−10)+50⋅PB=11500100 \cdot (P_A - 10) + 50 \cdot P_B = 11500
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o desconto de A, escrevendo 100·P_A + 50·P_B = 11500.

Passo 3 — Montar a equação da compra de Beltrano

Beltrano comprou em outra faixa (q > 150), então os descontos são diferentes. Precisamos de outra equação para formar o sistema com duas incógnitas.

Por que esta fórmula: Analogamente, o valor pago é a soma das quantidades vezes o preço com desconto. Para A, desconto de 15; para B, desconto de 20.

200⋅(PA−15)+300⋅(PB−20)=34000200 \cdot (P_A - 15) + 300 \cdot (P_B - 20) = 34000

De onde vem cada valor: 200200 = enunciado: Beltrano comprou 200 unidades de A · PAP_A = preço unitário de A sem desconto (incógnita) · 1515 = enunciado: desconto de R$ 15,00 em A na faixa q > 150 · 300300 = enunciado: Beltrano comprou 300 unidades de B · PBP_B = preço unitário de B sem desconto (incógnita) · 2020 = enunciado: desconto de R$ 20,00 em B na faixa q > 150 · 3400034000 = enunciado: Beltrano pagou R$ 34.000,00

200⋅(PA−15)+300⋅(PB−20)=34000200 \cdot (P_A - 15) + 300 \cdot (P_B - 20) = 34000
NÃO CAIA NESSA!

Usar os descontos da faixa anterior (10 e 15) em vez de 15 e 20.

Passo 4 — Simplificar as duas equações

Para resolver o sistema, é mais fácil trabalhar com equações reduzidas. Expandimos os parênteses e dividimos pelos fatores comuns para obter coeficientes menores.

Por que esta fórmula: Expandir a distributiva e depois dividir toda a equação por um mesmo número não altera a igualdade, apenas simplifica os números.

{2PA+PB=2502PA+3PB=430\begin{cases} 2P_A + P_B = 250 \\ 2P_A + 3P_B = 430 \end{cases}

De onde vem cada valor: 2PA+PB=2502P_A + P_B = 250 = passo 2: 100(P_A-10)+50P_B=11500 → 100P_A-1000+50P_B=11500 → 100P_A+50P_B=12500 → dividindo por 50 · 2PA+3PB=4302P_A + 3P_B = 430 = passo 3: 200(P_A-15)+300(P_B-20)=34000 → 200P_A-3000+300P_B-6000=34000 → 200P_A+300P_B=43000 → dividindo por 100

{2PA+PB=2502PA+3PB=430\begin{cases} 2P_A + P_B = 250 \\ 2P_A + 3P_B = 430 \end{cases}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: por exemplo, dividir 12500 por 50 e obter 2500 em vez de 250.

Passo 5 — Subtrair as equações para achar P_B

As duas equações têm o mesmo coeficiente para P_A (2). Subtraindo uma da outra, eliminamos P_A e ficamos com uma equação só para P_B.

Por que esta fórmula: Quando os coeficientes de uma incógnita são iguais, a subtração cancela essa incógnita, permitindo resolver a outra.

(2PA+3PB)−(2PA+PB)=430−250(2P_A + 3P_B) - (2P_A + P_B) = 430 - 250

De onde vem cada valor: 2PA+3PB2P_A + 3P_B = passo 4: segunda equação · 2PA+PB2P_A + P_B = passo 4: primeira equação · 430430 = passo 4: termo independente da segunda · 250250 = passo 4: termo independente da primeira

2PB=1802P_B = 180
PB=90P_B = \boxed{90}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada, resultando em sinal trocado.

Passo 6 — Substituir P_B para achar P_A

Com P_B conhecido, usamos uma das equações originais para encontrar P_A. Isso fecha o sistema.

Por que esta fórmula: Substituir o valor encontrado em uma equação com duas incógnitas a transforma em uma equação de primeiro grau com uma incógnita.

2PA+90=2502P_A + 90 = 250

De onde vem cada valor: 2PA2P_A = passo 4: primeira equação · 9090 = passo 5: valor de P_B · 250250 = passo 4: termo independente da primeira

2PA=1602P_A = 160
PA=80P_A = \boxed{80}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 90 dos dois lados, obtendo 2P_A = 340.

Passo 7 — Calcular o preço com desconto para 1 unidade

A pergunta é sobre comprar 1 unidade de cada. Como 1 está na faixa 80 < q ≤ 150, aplicamos os descontos dessa faixa aos preços sem desconto.

Por que esta fórmula: O preço com desconto é o preço base menos o desconto unitário da faixa.

Prec¸o A=PA−10,Prec¸o B=PB−15\text{Preço A} = P_A - 10, \quad \text{Preço B} = P_B - 15

De onde vem cada valor: PAP_A = passo 6: 80 · 1010 = enunciado: desconto de A na faixa 80 < q ≤ 150 · PBP_B = passo 5: 90 · 1515 = enunciado: desconto de B na faixa 80 < q ≤ 150

Prec¸o A=80−10=70,Prec¸o B=90−15=75\text{Preço A} = 80 - 10 = 70, \quad \text{Preço B} = 90 - 15 = 75

A = R$ 70,00, B = R$ 75,00

NÃO CAIA NESSA!

Aplicar os descontos da faixa q > 150 (15 e 20) por engano.

Passo 8 — Somar os preços com desconto

O total pago é a soma dos preços de cada unidade com desconto.

Por que esta fórmula: O valor total de uma compra é a soma dos valores de cada item.

Total=70+75\text{Total} = 70 + 75

De onde vem cada valor: 7070 = passo 7: preço de A com desconto · 7575 = passo 7: preço de B com desconto

Total=145\text{Total} = 145

Total\text{Total} = R$ 145,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar, ou somar os preços sem desconto (80+90=170).

Resposta: R$ 145,00 (nenhuma alternativa; o gabarito D está incorreto)

Link permanente: /questoes/vu079375