Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2023

Lógica Proposicional: argumento válido por modus tollens

Gabarito: letra C. A conclusão que decorre das premissas é "Sônia não é mãe". Partindo da premissa IV (Cláudio não é filho único) e aplicando o modus tollens na premissa I, conclui-se que "Carla é casada e Pedro é divorciado". Com "Carla é casada" (negação de "Carla não é casada"), aplica-se novamente o modus tollens na premissa II, chegando a "Sônia não é mãe". A alternativa C é a única que representa uma consequência lógica necessária das premissas.

O problema exige a aplicação de regras de inferência da lógica proposicional para verificar qual conclusão torna o argumento válido. A principal regra utilizada é o modus tollens, que afirma: se $P \rightarrow Q$ é verdadeiro e $Q$ é falso, então $P$ deve ser falso. Formalmente: $P \rightarrow Q, \neg Q \therefore \neg P$.

Vamos simbolizar as proposições:

• $C$: Carla é casada (logo, $\neg C$: Carla não é casada)

• $P$: Pedro é divorciado (logo, $\neg P$: Pedro não é divorciado)

• $F$: Cláudio é filho único

• $S$: Sônia é mãe

• $A$: Sergio é administrador (logo, $\neg A$: Sergio não é administrador)

• $G$: Gerson é noivo

As premissas ficam: I. $(\neg C \lor \neg P) \rightarrow F$ II. $S \rightarrow \neg C$ III. $\neg P \rightarrow (\neg A \land G)$ IV. $\neg F$

Passo 1: Da premissa IV ($\neg F$) e da premissa I, por modus tollens, temos $\neg(\neg C \lor \neg P)$, que por De Morgan equivale a $C \land P$. Portanto, concluímos que Carla é casada e Pedro é divorciado.

Passo 2: Com $C$ (Carla é casada), temos $\neg(\neg C)$, ou seja, a negação do antecedente da premissa II. Aplicando modus tollens na premissa II ($S \rightarrow \neg C$) com a negação de $\neg C$, concluímos $\neg S$: Sônia não é mãe.

Passo 3: Com $P$ (Pedro é divorciado), temos $\neg(\neg P)$, a negação do antecedente da premissa III. Portanto, não podemos concluir nada sobre Sergio ou Gerson a partir dela. As alternativas A, B e E não são consequências lógicas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que "Gerson é noivo". Isso seria consequência da premissa III se $\neg P$ fosse verdadeiro. Porém, concluímos que $P$ é verdadeiro (Pedro é divorciado), logo o antecedente de III é falso e a premissa não nos permite afirmar nada sobre Gerson. A alternativa tenta induzir o aluno a aplicar modus ponens de forma incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que "Sergio não é administrador". Pela mesma razão da alternativa A, a premissa III tem antecedente falso ($P$ é verdadeiro), então não podemos concluir nada sobre Sergio. A alternativa confunde a estrutura lógica, sugerindo uma conclusão que não é garantida.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que "Sônia não é mãe". Esta é a conclusão correta. Do modus tollens na premissa I, obtemos $C$ (Carla é casada). Com $C$, a premissa II ($S \rightarrow \neg C$) tem consequente falso, então, por modus tollens, concluímos $\neg S$ (Sônia não é mãe). A alternativa espelha exatamente a consequência lógica necessária.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que "Sônia é mãe". Isso contradiz diretamente a conclusão obtida ($\neg S$). Se Sônia fosse mãe, pela premissa II, Carla não seria casada, o que contraria a conclusão do passo 1. A alternativa é a negação da conclusão correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que "Sergio é administrador". Assim como as alternativas A e B, depende da premissa III, cujo antecedente ($\neg P$) é falso. Não há como derivar essa conclusão. A alternativa tenta confundir com uma possível aplicação de modus ponens em uma premissa com antecedente falso.

Gabarito: letra C