Matemática · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu079687

Regra de três composta com produtividade

Gabarito: letra E — o tempo necessário é de 12 horas e 30 minutos. A questão combina três grandezas (funcionários, kits e tempo) e ainda dobra a produtividade dos novos funcionários, o que exige cuidado na montagem da proporção: mais funcionários e mais produtividade reduzem o tempo, enquanto mais kits aumentam.

A ideia por trás

Este é um problema clássico de regra de três composta, envolvendo quatro grandezas: número de funcionários, quantidade de kits, tempo de trabalho e produtividade. A referência inicial é: 25 funcionários produzem 750 kits em 9 horas. A nova situação tem 15 funcionários, com o dobro da produtividade, e precisa produzir 1250 kits.

O passo fundamental é identificar quais grandezas são diretamente proporcionais ao tempo e quais são inversamente proporcionais:

Funcionários: quanto mais funcionários, menos tempo para a mesma tarefa → inversa.
Produtividade: quanto maior a produtividade, menos tempo → inversa.
Quantidade de kits: quanto mais kits, mais tempo → direta.

Com isso, montamos a proporção invertendo as grandezas inversas:

\frac{9}{t} = \frac{15}{25} \times \frac{2}{1} \times \frac{750}{1250}

Simplificando:

\frac{9}{t} = \frac{15 \times 2 \times 750}{25 \times 1 \times 1250} = \frac{22500}{31250} = \frac{18}{25}

Invertendo:

\frac{t}{9} = \frac{25}{18} \Rightarrow t = 9 \times \frac{25}{18} = \frac{225}{18} = 12,5 \text{ horas}

12,5 horas = 12 horas e 30 minutos.

Regra de três composta — só Situação referência: 25 func, 750 kits, 9h; só Situação nova: 15 func, 1250 kits, ?h; Situação referência∩Situação nova: produtividade dobra

Alternativa A — ❌ Incorreta

10 horas e 30 minutos. Esse valor seria obtido se o aluno ignorasse o aumento da produtividade ou aplicasse a proporção de forma incorreta, tratando todas as grandezas como diretamente proporcionais. Por exemplo, calculando apenas a variação de funcionários e kits, sem considerar o fator 2 da produtividade, chegaria a um tempo menor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

11 horas. Próximo do resultado, mas ainda abaixo. Provavelmente resulta de um erro de arredondamento ou de uma simplificação indevida na fração, como considerar a produtividade dobrada apenas parcialmente (ex.: multiplicar por 1,5 em vez de 2).

Alternativa C — ❌ Incorreta

11 horas e 30 minutos. Também abaixo do correto. Pode vir de uma montagem errada da proporção, invertendo apenas uma das grandezas inversas (funcionários ou produtividade), mas não ambas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

12 horas. Muito próximo do gabarito, mas ainda insuficiente. Esse valor surge se o aluno considerar a produtividade dobrada, mas errar a inversão de alguma grandeza, ou se fizer uma simplificação que resulte em 12 em vez de 12,5.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

12 horas e 30 minutos. É exatamente o resultado da regra de três composta correta, considerando que os 15 funcionários têm o dobro da produtividade. A conta final: $t = 9 \times \frac{25}{18} = 12,5$ horas, ou seja, 12 horas e 30 minutos.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a inversão das grandezas. Muitos candidatos montam a proporção tratando funcionários e produtividade como diretamente proporcionais ao tempo, o que reduziria o tempo para menos de 9 horas. Lembre-se: mais funcionários e mais produtividade diminuem o tempo, então essas grandezas entram invertidas na regra de três. Com treino, você identifica essas inversões rapidamente 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para não errar, monte uma tabela com as grandezas e marque com setas: ↑ (direta) ou ↓ (inversa) em relação ao tempo. Depois, inverta as frações das grandezas inversas antes de multiplicar. Esse método evita confusão e funciona para qualquer questão de regra de três composta.

Gabarito: letra E