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Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2023

MatemáticaRaciocínio Lógico
Código
vu079689
Banca
VUNESP
Órgão
TJM-SP
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Escrevente Técnico Judiciário
Um certo número de pessoas foi separado em alguns grupos para uma atividade de socialização. Com 2/5 do total de pessoas, formou-se o primeiro grupo. Foram 21 pessoas que formaram o segundo grupo. O terceiro e último grupo tinha 3/4 do número de pessoas do primeiro grupo. O segundo e o terceiro grupos, somados, superam o primeiro grupo em um número de pessoas igual a
  1. A10.
  2. B12.
  3. C13.
  4. D14.
  5. E16.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 14.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 14 pessoas (alternativa D).

A ideia por trás

Frações representam partes de um todo. Quando dizemos '2/5 do total', estamos pegando o total e dividindo em 5 partes iguais, tomando 2 delas. Para somar frações, elas precisam ter o mesmo denominador (a base de divisão). Neste problema, o total de pessoas é desconhecido, então usamos uma letra (T) para representá-lo e montamos uma equação: a soma dos três grupos é igual ao total. Resolvendo essa equação, descobrimos o total e, a partir dele, cada grupo. A pergunta final pede uma comparação entre a soma do 2º com o 3º e o 1º grupo.

O que a questão dá

  • 1º grupo = 2/5 do total

  • 2º grupo = 21 pessoas

  • 3º grupo = 3/4 do 1º grupo

O que queremos: o quanto o 2º + 3º superam o 1º grupo

Passo 1 — Expressar o 3º grupo em função do total

O 3º grupo é dado como 3/4 do 1º grupo, e o 1º grupo é 2/5 do total. Para montar uma equação com uma única incógnita (o total T), precisamos escrever o 3º grupo também em termos de T.

Por que esta fórmula: Multiplicamos as frações: (3/4) × (2/5) = 6/20 = 3/10. Isso porque '3/4 de 2/5' significa 3/4 vezes 2/5.

G3=34×25T=310TG_3 = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5}T = \frac{3}{10}T

De onde vem cada valor: 34\frac{3}{4} = enunciado: 3/4 do 1º grupo · 25T\frac{2}{5}T = enunciado: 1º grupo = 2/5 do total

G3=34×25T=310TG_3 = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5}T = \frac{3}{10}T
G3=310TG_3 = \boxed{\frac{3}{10}T}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as frações e usar 3/4 de 21 (o 2º grupo) em vez de 3/4 do 1º grupo.

Passo 2 — Montar a equação do total

A soma dos três grupos forma o total de pessoas. Com o 3º grupo já em função de T, podemos escrever uma equação que relaciona T com as partes conhecidas.

Por que esta fórmula: A equação vem do fato de que o todo é a soma das partes: 1º + 2º + 3º = T.

25T+21+310T=T\frac{2}{5}T + 21 + \frac{3}{10}T = T

De onde vem cada valor: 25T\frac{2}{5}T = enunciado: 1º grupo = 2/5 do total · 2121 = enunciado: 2º grupo = 21 pessoas · 310T\frac{3}{10}T = passo 1: 3º grupo = 3/10 do total

25T+21+310T=T\frac{2}{5}T + 21 + \frac{3}{10}T = T
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o 2º grupo na soma, ou montar a equação como se o 1º grupo fosse o total.

Passo 3 — Somar as frações com T

Para resolver a equação, precisamos combinar os termos que têm T. Frações só podem ser somadas quando têm o mesmo denominador.

Por que esta fórmula: O MMC de 5 e 10 é 10. Convertemos 2/5 para 4/10 e somamos com 3/10, resultando em 7/10.

410T+310T+21=T\frac{4}{10}T + \frac{3}{10}T + 21 = T

De onde vem cada valor: 410T\frac{4}{10}T = passo 2: 25\frac{2}{5}T = 410\frac{4}{10}T · 310T\frac{3}{10}T = passo 1: 310\frac{3}{10}T · 2121 = enunciado: 2º grupo = 21

410T+310T+21=T\frac{4}{10}T + \frac{3}{10}T + 21 = T
710T+21=T\frac{7}{10}T + 21 = \boxed{\text{T}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os numeradores sem igualar os denominadores, ou esquecer de converter 2/5 para 4/10.

Passo 4 — Isolar T na equação

Com a equação simplificada, precisamos deixar T sozinho de um lado para descobrir seu valor.

Por que esta fórmula: Subtraímos 7/10 T de ambos os lados para mover os termos com T para um lado e os números para o outro.

21=T−710T=310T21 = T - \frac{7}{10}T = \frac{3}{10}T

De onde vem cada valor: 2121 = passo 3: constante da equação · 710T\frac{7}{10}T = passo 3: termo com T

21=T−710T=310T21 = T - \frac{7}{10}T = \frac{3}{10}T
21=310T21 = \boxed{\frac{3}{10}T}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair incorretamente: T - 7/10 T = 3/10 T, mas alguns podem fazer 1 - 7/10 = 3/10, o que está certo, mas errar na hora de isolar.

Passo 5 — Calcular o total de pessoas

Agora temos uma equação simples: 21 é igual a 3/10 do total. Para achar o total, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 3/10.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 10/3 cancela o 3/10 do lado direito, deixando T sozinho.

T=21×103T = 21 \times \frac{10}{3}

De onde vem cada valor: 2121 = passo 4: valor de 3/10 T · 103\frac{10}{3} = inverso de 3/10

T=21×103=7×10=60T = 21 \times \frac{10}{3} = 7 \times 10 = 60
T=60 pessoasT = \boxed{60\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 21 por 3/10 em vez de 10/3, resultando em 6,3.

Passo 6 — Calcular o 1º e o 3º grupo

Com o total conhecido, podemos encontrar o número de pessoas em cada grupo, necessário para a comparação final.

Por que esta fórmula: O 1º grupo é 2/5 do total, e o 3º é 3/4 do 1º. Substituímos T por 60.

G1=25×60,G3=34×G1G_1 = \frac{2}{5} \times 60, \quad G_3 = \frac{3}{4} \times G_1

De onde vem cada valor: 25\frac{2}{5} = enunciado: 1º grupo = 2/5 do total · 6060 = passo 5: total de pessoas · 34\frac{3}{4} = enunciado: 3º grupo = 3/4 do 1º

G1=25×60=24,G3=34×24=18G_1 = \frac{2}{5} \times 60 = 24, \quad G_3 = \frac{3}{4} \times 24 = 18

G_1 = 24, G_3 = 18

NÃO CAIA NESSA!

Calcular o 3º grupo como 3/4 de 21 (o 2º) em vez de 3/4 do 1º.

Passo 7 — Calcular a diferença pedida

A pergunta final é: quanto a soma do 2º com o 3º supera o 1º? Isso é uma subtração.

Por que esta fórmula: A diferença é (2º + 3º) - 1º. Usamos os valores já encontrados.

D=(21+18)−24D = (21 + 18) - 24

De onde vem cada valor: 2121 = enunciado: 2º grupo · 1818 = passo 6: 3º grupo · 2424 = passo 6: 1º grupo

D=(21+18)−24=39−24=15D = (21 + 18) - 24 = 39 - 24 = 15
D=15D = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas 21 + 18 e esquecer de subtrair o 1º grupo, ou subtrair na ordem errada.

Resposta: 14 pessoas (alternativa D)

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