Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 30 pacientes, que está entre 29 e 36 (alternativa B)..

A ideia por trás

Razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre o número de pacientes que fizeram exame e os que não fizeram é 2/11, isso significa que, para cada 2 pacientes que fizeram, há 11 que não fizeram. Essa razão pode ser representada por uma constante de proporcionalidade k, de modo que os números reais são 2k e 11k. A razão aumentou para 3/13, ou seja, depois da campanha, para cada 3 que fizeram, há 13 que não fizeram. Como o total de pacientes não mudou, a soma das duas partes (fizeram + não fizeram) permanece a mesma. Nesta questão, precisamos usar a razão inicial para descobrir quantos já tinham feito exame antes da campanha, e depois subtrair esse valor do total após a campanha (195) para achar quantos fizeram exame por causa da campanha.

O que a questão dá

• razão inicial (já fizeram / não fizeram) = 2/11

• razão após campanha (já fizeram / não fizeram) = 3/13

• número de pacientes que já fizeram exame após a campanha = 195

• total de pacientes da clínica não mudou

O que queremos: o número de pacientes que fez exame de rotina após a campanha (ou seja, a diferença entre os que já tinham feito antes e depois)

Passo 1 — Representar a razão inicial com uma constante

A razão inicial 2/11 nos diz a proporção entre os que fizeram e os que não fizeram exame antes da campanha. Para trabalhar com números reais, usamos uma constante k: assim, o número de pacientes que já fizeram é 2k e o número dos que não fizeram é 11k. Isso é útil porque o total de pacientes é a soma dessas duas partes, que não muda.

Por que esta fórmula: Quando temos uma razão a/b, podemos escrever as quantidades como a·k e b·k, pois isso preserva a proporção e permite encontrar os valores reais quando conhecemos o total ou uma das partes.

De onde vem cada valor: $x$ = número de pacientes que já fizeram exame antes da campanha (definido por nós) · $y$ = número de pacientes que não fizeram exame antes da campanha (definido por nós) · $k$ = constante de proporcionalidade (a determinar)

Passo 2 — Calcular o total de pacientes em função de k

O total de pacientes é a soma dos que fizeram e dos que não fizeram exame. Como o total não muda, ele será o mesmo antes e depois da campanha. Somando as duas partes da razão inicial, obtemos o total em termos de k.

Por que esta fórmula: O total é simplesmente a soma das duas partes: T = x + y. Substituindo x e y pelas expressões com k, temos T = 2k + 11k = 13k.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1: x = 2k · $y$ = passo 1: y = 11k

Passo 3 — Usar a razão após a campanha para achar y'

Depois da campanha, sabemos que o número de pacientes que já fizeram exame é 195 e a razão entre os que fizeram e os que não fizeram é 3/13. Com isso, podemos descobrir quantos não fizeram exame após a campanha, o que nos dará o total de pacientes.

Por que esta fórmula: A razão após a campanha é x'/y' = 3/13. Como conhecemos x' = 195, podemos isolar y' multiplicando em cruz: 195/y' = 3/13 ⇒ y' = (195·13)/3.

De onde vem cada valor: $x'$ = enunciado: 195 (número de pacientes que já fizeram exame após a campanha) · $3$ = numerador da razão após a campanha (enunciado) · $13$ = denominador da razão após a campanha (enunciado)

Passo 4 — Calcular o total de pacientes

Com o número de pacientes que fizeram (195) e os que não fizeram (845) após a campanha, podemos somar para obter o total de pacientes da clínica. Esse total é o mesmo antes e depois, pois não houve modificação na quantidade de pacientes.

Por que esta fórmula: O total é a soma das duas categorias: T = x' + y'. Como o total não muda, ele também é igual a 13k, o que nos permitirá achar k.

De onde vem cada valor: $x'$ = enunciado: 195 · $y'$ = passo 3: 845

Passo 5 — Descobrir o valor de k

Sabemos que o total de pacientes é 13k (passo 2) e também é 1040 (passo 4). Igualando esses valores, encontramos k, que nos dirá quantos pacientes já tinham feito exame antes da campanha.

Por que esta fórmula: Como o total é o mesmo, podemos igualar as duas expressões: 13k = 1040. Isolando k, dividimos ambos os lados por 13.

De onde vem cada valor: $13$ = passo 2: coeficiente de k no total · $1040$ = passo 4: total de pacientes

Passo 6 — Calcular quantos já tinham feito exame antes

Com o valor de k, podemos voltar à razão inicial e descobrir quantos pacientes já tinham feito exame antes da campanha. Isso é necessário para saber quantos fizeram exame por causa da campanha.

Por que esta fórmula: Na razão inicial, o número de pacientes que já tinham feito exame é x = 2k. Substituindo k pelo valor encontrado, obtemos x.

De onde vem cada valor: $2$ = numerador da razão inicial (enunciado) · $k$ = passo 5: 80

Passo 7 — Subtrair para achar quem fez após a campanha

O número de pacientes que fez exame após a campanha é exatamente a diferença entre o total de pacientes que já fizeram exame depois da campanha (195) e o número que já tinha feito antes (160). Essa diferença representa os novos pacientes que fizeram exame por causa da campanha.

Por que esta fórmula: A diferença entre o número após e o número antes dá o acréscimo: novos = x' - x.

De onde vem cada valor: $x'$ = enunciado: 195 · $x$ = passo 6: 160

Resposta: 30 pacientes, que está entre 29 e 36 (alternativa B).