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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu080452
Banca
VUNESP
Órgão
CAMPREV - SP
Ano
2023
Nível
Superior
A política do departamento de tecnologia de certo órgão previdenciário determina que, por questões de segurança, as senhas de acesso aos sistemas devem ser trocadas da seguinte forma: a senha de acesso ao sistema operacional, a cada 10 dias; a senha de acesso ao e-mail corporativo, a cada 5 semanas; e a senha de acesso ao sistema de gestão previdenciária, a cada 14 dias. No dia 31.12.2021, Sérgio trocou as 3 referidas senhas. Então, supondo que Sérgio seguirá rigorosamente as determinações do departamento de tecnologia do órgão, é correto afirmar que, durante todo o ano de 2022, o número de vezes em que Sérgio terá trocado as 3 referidas senhas em um mesmo dia é igual a
  1. A8.
  2. B7.
  3. C6.
  4. D5.
  5. E4.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 5 vezes (letra D).

A ideia por trás

Quando dois ou mais eventos periódicos acontecem juntos, eles coincidem nos múltiplos comuns dos períodos. O menor desses múltiplos é o MMC (mínimo múltiplo comum), e a partir dele as coincidências se repetem a cada MMC. Para achar quantas vezes isso ocorre em um intervalo, dividimos o total de dias pelo MMC e pegamos a parte inteira. Nesta questão, os períodos são 10, 35 e 14 dias; precisamos calcular o MMC deles e ver quantos múltiplos cabem em 365 dias.

O que a questão dá

  • período da senha do sistema operacional = 10 dias

  • período da senha do e-mail corporativo = 5 semanas = 35 dias

  • período da senha do sistema de gestão = 14 dias

  • última troca conjunta em 31.12.2021

  • ano de 2022 tem 365 dias

O que queremos: o número de vezes em que as três senhas serão trocadas no mesmo dia durante 2022

Passo 1 — Converter semanas em dias

Os períodos precisam estar na mesma unidade para comparar e calcular o MMC. Como os outros períodos estão em dias, convertemos 5 semanas para dias.

Por que esta fórmula: Cada semana tem 7 dias, então multiplicamos o número de semanas por 7.

5 semanas=5×7 dias5 \text{ semanas} = 5 \times 7 \text{ dias}

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: 5 semanas · 77 = 1 semana = 7 dias

5×7=35=35 dias5 \times 7 = 35 = \boxed{35\ \text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 5 como período, o que daria MMC errado.

Passo 2 — Fatorar os três períodos

Para calcular o MMC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Isso mostra quais fatores comuns e não comuns existem.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o método padrão para achar o MMC: pegamos cada fator primo com o maior expoente que aparece.

10=2×5;35=5×7;14=2×710 = 2 \times 5; \quad 35 = 5 \times 7; \quad 14 = 2 \times 7

De onde vem cada valor: 1010 = passo 1: período do sistema operacional · 3535 = passo 1: período do e-mail · 1414 = enunciado: período do sistema de gestão

10=2×5;35=5×7;14=2×7=fatores:2,5,710 = 2 \times 5; \quad 35 = 5 \times 7; \quad 14 = 2 \times 7 = \boxed{\text{fatores}: 2, 5, 7}
NÃO CAIA NESSA!

Fatorar errado, por exemplo, 35 = 5 × 7, mas esquecer o 7.

Passo 3 — Calcular o MMC

O MMC é o menor número que é múltiplo de todos os períodos; é ele que determina a cada quantos dias as trocas coincidem.

Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, cada um com o maior expoente. Aqui, os fatores são 2, 5 e 7, todos com expoente 1.

MMC=2×5×7\text{MMC} = 2 \times 5 \times 7

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: fator comum de 10 e 14 · 55 = passo 2: fator comum de 10 e 35 · 77 = passo 2: fator comum de 35 e 14

2×5×7=70=70 dias2 \times 5 \times 7 = 70 = \boxed{70\ \text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir um fator, como o 7, resultando em MMC = 10 ou 14.

Passo 4 — Dividir o ano pelo MMC

As coincidências ocorrem a cada 70 dias a partir de 31.12.2021. Para saber quantas vezes isso acontece em 2022, dividimos o total de dias do ano pelo MMC.

Por que esta fórmula: O número de múltiplos de 70 dentro de 365 é dado pela divisão inteira: 365 ÷ 70. A parte inteira do quociente é a quantidade de coincidências.

quantidade=⌊36570⌋\text{quantidade} = \left\lfloor \frac{365}{70} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 365365 = enunciado: ano de 2022 tem 365 dias · 7070 = passo 3: MMC

36570≈5,21\frac{365}{70} \approx 5{,}21

quantidade\text{quantidade} = 5 (parte inteira)

NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para 6 em vez de truncar; como 5,21, a parte inteira é 5.

Resposta: 5 vezes (letra D)

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