Matemática · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu080477

Números racionais e a impossibilidade de divisão por zero

Gabarito: letra C. A única conclusão necessariamente verdadeira é que $a \cdot b \neq 0$ , pois o produto de dois números não nulos é sempre não nulo — propriedade válida em qualquer corpo numérico (racionais, reais, complexos). As demais alternativas impõem condições que não decorrem das premissas.

O ponto central é a propriedade do produto de números não nulos: se $a \neq 0$ e $b \neq 0$ , então $a \cdot b \neq 0$ . Isso vale em qualquer corpo numérico (racionais, reais, complexos). A alternativa C é a única que expressa exatamente essa consequência lógica.

Vamos analisar cada alternativa:

Caso	Premissas (a ≠ 0, b ≠ 0)	Conclusão testada	Resultado
1	V	a + b = 0	Falso (contraexemplo: a=1, b=2)
2	V	a + b ≠ 0	Falso (contraexemplo: a=1, b=−1)
3	V	a · b ≠ 0	Verdadeiro (produto de não nulos)
4	V	a · b = 0	Contradição (viola premissas)
5	V	kb = 1	Falso (k e b sem relação)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $a + b = 0$ . Isso não é consequência das premissas. Por exemplo, $a = 1$ e $b = 2$ satisfazem $a \neq 0$ , $b \neq 0$ , mas $a + b = 3 \neq 0$ . A soma de dois números não nulos pode ser zero (como $1 + (-1) = 0$ ), mas não é necessariamente zero.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $a + b \neq 0$ . Isso também não é consequência das premissas. Por exemplo, $a = 1$ e $b = -1$ satisfazem $a \neq 0$ , $b \neq 0$ , mas $a + b = 0$ . A soma de dois números não nulos pode ser zero, então não é necessariamente não nula.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $a \cdot b \neq 0$ . Isso é necessariamente verdadeiro porque o produto de dois números não nulos é sempre não nulo. Essa propriedade é fundamental em qualquer corpo numérico (racionais, reais, complexos). Como $a \neq 0$ e $b \neq 0$ , o produto $a \cdot b$ não pode ser zero.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $a \cdot b = 0$ . Isso contradiz diretamente as premissas, pois se $a \neq 0$ e $b \neq 0$ , o produto $a \cdot b$ é necessariamente não nulo. Portanto, essa alternativa é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $kb = 1$ . Isso não é consequência das premissas. O valor de $k$ é um número real não nulo, mas não há relação entre $k$ e $b$ que garanta $kb = 1$ . Por exemplo, $k = 2$ , $b = 3$ satisfazem as premissas, mas $kb = 6 \neq 1$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato com a soma $a + b$ , que pode ser zero ou não, mas a propriedade que vale sempre é a do produto. Lembre-se: produto de não nulos é sempre não nulo, mas soma de não nulos pode ser zero (ex.: $1 + (-1) = 0$ ).

PEGA ESSA DICA!

Em questões de lógica com números, teste sempre com contraexemplos simples (como $a=1$ , $b=2$ ou $a=1$ , $b=-1$ ) para verificar se uma afirmação é necessariamente verdadeira. Se encontrar um contraexemplo, a alternativa está errada.

Gabarito: letra C