Para a aquisição de um equipamento, foram feitos os orçamentos A, B, C e D. Adicionados os valores dos orçamentos A e B, a soma é de R$ 15.000,00; adicionados os valores dos orçamentos B e C, a soma é de R$ 18.000,00; e subtraído o valor do orçamento D do valor do orçamento B, a diferença é de R$ 1.000,00. Sabendo que o valor do menor orçamento é R$ 1.500,00 menor que a média aritmética simples dos quatro orçamentos, ele foi de
AR$ 8.500,00.
BR$ 8.000,00.
CR$ 7.500,00.
DR$ 7.000,00.
ER$ 6.500,00.
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GabaritoE — R$ 6.500,00.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a R$ 6.500,00 (alternativa E).
A ideia por trás
A média aritmética simples de um conjunto de números é a soma de todos eles dividida pela quantidade de elementos — ela representa o valor que cada um teria se todos fossem iguais. Nesta questão, temos três equações que relacionam os orçamentos dois a dois, mas quatro incógnitas; a quarta relação vem da condição de que o menor orçamento é R$ 1.500,00 menor que a média. Como não sabemos de antemão qual é o menor, a estratégia é testar os valores das alternativas: para cada um, supomos que ele é o menor, usamos as equações para achar os demais e verificamos se a condição da média é satisfeita. Essa abordagem transforma um sistema indeterminado em um problema de verificação direta.
O que a questão dá
A + B = 15.000
B + C = 18.000
B - D = 1.000
menor orçamento = média - 1.500
O que queremos: o valor do menor orçamento
Passo 1 — Escrever as equações do enunciado
Precisamos traduzir as frases do problema em linguagem matemática. Cada soma ou diferença vira uma equação, e essas equações serão a base para descobrir os valores dos orçamentos.
Por que esta fórmula: As equações vêm diretamente do enunciado: 'A + B = 15.000' significa que a soma dos orçamentos A e B é 15.000, e assim por diante.
De onde vem cada valor: = enunciado: orçamento A · = enunciado: orçamento B · = enunciado: orçamento C · = enunciado: orçamento D
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir a equação B - D = 1.000, que é essencial para relacionar B e D.
Passo 2 — Testar a alternativa E como menor orçamento
Como temos quatro incógnitas e apenas três equações, precisamos de uma quarta condição. A alternativa E sugere que o menor orçamento é R$ 6.500,00; vamos supor que isso seja verdade e ver se as contas fecham.
Por que esta fórmula: Se o menor é D = 6.500, então da equação B - D = 1.000 tiramos B = D + 1.000 = 7.500. Depois usamos as outras equações para achar A e C.
De onde vem cada valor: = alternativa E: 6.500 · = passo 1: B - D = 1.000
NÃO CAIA NESSA!
Supor que o menor é A ou B sem verificar se isso contradiz as equações.
Passo 3 — Calcular A usando a soma A + B
Com B conhecido, podemos usar a equação A + B = 15.000 para achar A. Isso é possível porque a soma é dada e já sabemos o valor de B.
Por que esta fórmula: Isolamos A na equação: A = 15.000 - B. Essa é a forma direta de obter A a partir da soma.
De onde vem cada valor: = enunciado: A + B = 15.000 · = passo 2: 7.500
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a subtração, fazendo A = B - 15.000, o que daria um valor negativo.
Passo 4 — Calcular C usando a soma B + C
Da mesma forma, com B conhecido, usamos a equação B + C = 18.000 para achar C. Isso completa os quatro valores.
Por que esta fórmula: Isolamos C: C = 18.000 - B. É a relação direta entre C e B.
De onde vem cada valor: = enunciado: B + C = 18.000 · = passo 2: 7.500
NÃO CAIA NESSA!
Usar o valor de A em vez de B, confundindo as equações.
Passo 5 — Calcular a média dos quatro orçamentos
A condição final envolve a média aritmética. Com os quatro valores em mãos, podemos calcular a média e comparar com o menor orçamento.
Por que esta fórmula: A média aritmética simples é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de elementos. Aqui, são quatro orçamentos.
De onde vem cada valor: = passo 3: 7.500 · = passo 2: 7.500 · = passo 4: 10.500 · = passo 2: 6.500
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir pela quantidade de elementos, ou somar errado.
Passo 6 — Verificar a condição do menor orçamento
A última frase do enunciado exige que o menor orçamento seja R$ 1.500,00 menor que a média. Precisamos confirmar se isso acontece com os valores encontrados.
Por que esta fórmula: A condição é: menor = média - 1.500. Com a média calculada, subtraímos 1.500 e comparamos com o menor valor (D = 6.500).
De onde vem cada valor: = passo 5: 8.000 · = enunciado: menor orçamento é R$ 1.500,00 menor que a média
NÃO CAIA NESSA!
Conferir apenas se a diferença é 1.500, mas esquecer de verificar que 6.500 é realmente o menor entre os quatro.