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Questão de Matemática — Prismas — VUNESP 2023

MatemáticaPrismas
Código
vu080485
Banca
VUNESP
Órgão
DPE-SP
Ano
2023
Nível
Superior
Um objeto cunhado em madeira tem o formato de paralelepípedo reto retangular, com volume de 910 cm³ . Sabendo que sua altura é de 5 cm e que a diferença entre as medidas das arestas de sua base é de 1 cm, a medida da menor aresta da base excede a altura desse prisma em
  1. A10,0 cm.
  2. B9,5 cm.
  3. C9,0 cm.
  4. D8,5 cm.
  5. E8,0 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 8,0 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 8,0 cm (alternativa E).

A ideia por trás

O paralelepípedo reto retangular é um prisma cujas bases são retângulos e cujas faces laterais são retângulos perpendiculares às bases. O volume de qualquer prisma é o produto da área da base pela altura: V = A_b · h. No caso do paralelepípedo, a base é um retângulo de lados a e b, então A_b = a · b e o volume fica V = a · b · h. A questão fornece o volume e a altura; o primeiro passo é encontrar a área da base, depois usar a diferença entre as arestas para achar as medidas individuais, e por fim calcular o excesso pedido.

O que a questão dá

  • volume = 910 cm³

  • altura = 5 cm

  • diferença entre as arestas da base = 1 cm

O que queremos: a medida da menor aresta da base excede a altura em quanto

Passo 1 — Calcular a área da base

O volume de um prisma é área da base vezes altura. Como temos o volume e a altura, podemos isolar a área da base para descobrir o produto das arestas da base.

Por que esta fórmula: A fórmula do volume do paralelepípedo é V = A_b · h, então para achar A_b dividimos o volume pela altura.

Ab=VhA_b = \frac{V}{h}

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 910 cm³ · hh = enunciado: 5 cm

Ab=9105=182 cm2A_b = \frac{910}{5} = \boxed{182\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir e usar 910 como área da base.

Passo 2 — Montar equação com as arestas

Sabemos que o produto das arestas da base é 182 e que elas diferem por 1 cm. Chamando a menor de x, a maior é x+1, então montamos uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: A área da base é o produto dos lados, então x(x+1) = 182.

x(x+1)=182x(x+1) = 182

De onde vem cada valor: xx = menor aresta da base (incógnita) · x+1x+1 = maior aresta da base, pois a diferença é 1 cm · 182182 = passo 1: área da base

x(x+1)=182x(x+1) = 182
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: usar x e x-1, o que daria a maior aresta como x.

Passo 3 — Resolver a equação do segundo grau

Precisamos encontrar o valor de x que satisfaz a equação. Expandimos e resolvemos por Bhaskara ou fatoração.

Por que esta fórmula: A equação x² + x - 182 = 0 é uma quadrática; as raízes são obtidas pela fórmula de Bhaskara.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = coeficiente de x²: 1 · bb = coeficiente de x: 1 · cc = termo constante: -182

x=−1±12−4⋅1⋅(−182)2⋅1x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-182)}}{2 \cdot 1}
x=13cm(araizpositiva)x = \boxed{13 cm (a raiz positiva)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a raiz negativa, mas como medida de comprimento, só a positiva interessa.

Passo 4 — Calcular o excesso sobre a altura

A questão pede quanto a menor aresta excede a altura. Já temos a menor aresta (13 cm) e a altura (5 cm), então subtraímos.

Por que esta fórmula: Excesso é a diferença entre a medida da aresta e a altura.

excesso=x−hexcesso = x - h

De onde vem cada valor: xx = passo 3: 13 cm · hh = enunciado: 5 cm

excesso=13−5=8 cmexcesso = 13 - 5 = \boxed{8\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a maior aresta (14 cm) em vez da menor, resultando em 9 cm (alternativa C).

Resposta: 8,0 cm (alternativa E)

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