Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — VUNESP 2023
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
vu080487
Banca
VUNESP
Órgão
DPE-SP
Ano
2023
Nível
Superior
O número total de funcionários de uma empresa foi dividido em 2 subgrupos, com base em certo atributo, com o objetivo de participarem de uma simulação de acidente: um subgrupo A, com 108 pessoas, e um subgrupo B, com 180 pessoas. Para a simulação, serão montadas o maior número de equipes possível, cada uma delas contendo x funcionários do subgrupo A e y funcionários do subgrupo B, de modo que cada funcionário participe de apenas uma das equipes. Em cada equipe, a diferença entre os números de funcionários dos subgrupos B e A deverá ser de
A1 pessoa.
B2 pessoas.
C3 pessoas.
D4 pessoas.
E5 pessoas.
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GabaritoB — 2 pessoas.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 2 pessoas (alternativa B).
A ideia por trás
Quando precisamos dividir quantidades em grupos iguais e do maior tamanho possível, usamos o máximo divisor comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide ambos exatamente; ele representa o maior tamanho de equipe que podemos formar sem sobrar ninguém. Aqui, o MDC de 108 e 180 é 36, então teremos 36 equipes. Dividindo cada total por 36, obtemos quantos de cada grupo vão em cada equipe: 3 do A e 5 do B. A diferença pedida é 5 − 3 = 2. O problema testa se você sabe aplicar o MDC e depois interpretar o resultado, em vez de parar no cálculo do MDC.
O que a questão dá
subgrupo A = 108 pessoas
subgrupo B = 180 pessoas
O que queremos: a diferença entre o número de funcionários do subgrupo B e do subgrupo A em cada equipe
Passo 1 — Entender o que o problema pede
Antes de fazer contas, precisamos traduzir o enunciado: queremos o maior número de equipes com a mesma composição, usando todos os funcionários. Isso significa que o número de equipes deve dividir tanto 108 quanto 180, e queremos o maior divisor comum.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que o número de equipes é a soma ou a diferença dos totais, em vez de pensar em divisão exata.
Passo 2 — Calcular o MDC de 108 e 180
O MDC é a ferramenta certa para dividir dois números no maior número de partes iguais possível. Vamos fatorar cada número em primos e pegar os fatores comuns com o menor expoente.
Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente que aparece nas duas fatorações.
De onde vem cada valor: = enunciado: subgrupo A = 108 · = enunciado: subgrupo B = 180 · = fator comum: 108 = 2² × 3³, 180 = 2² × 3² × 5, menor expoente de 2 é 2 · = menor expoente de 3 é 2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir o fator 5, que não é comum, ou usar o maior expoente em vez do menor.
Passo 3 — Descobrir quantos de cada grupo vão por equipe
Com o MDC (36) sabemos que teremos 36 equipes. Para saber quantos funcionários de cada subgrupo vão em cada equipe, dividimos o total de cada subgrupo pelo número de equipes.
Por que esta fórmula: Se 108 pessoas são divididas igualmente em 36 equipes, cada equipe recebe 108 ÷ 36. O mesmo para 180.
De onde vem cada valor: = enunciado: subgrupo A · = passo 2: MDC · = enunciado: subgrupo B
x = 3, y = 5
NÃO CAIA NESSA!
Dividir na ordem errada (180 ÷ 108) ou usar o MDC como se fosse a quantidade por equipe.
Passo 4 — Calcular a diferença entre y e x
O enunciado pede a diferença entre o número de funcionários do subgrupo B e do subgrupo A em cada equipe. Já temos os valores: y = 5 e x = 3.
Por que esta fórmula: Diferença é subtração: queremos y − x.
De onde vem cada valor: = passo 3: 5 · = passo 3: 3
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a diferença com a razão (5/3) ou com a quantidade de um dos grupos (3 ou 5).