Matemática · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu080544

Probabilidade: sorteio sem reposição

Gabarito: letra D. A probabilidade de sortear duas mulheres é de aproximadamente 46,67%, que está entre 45% e 50%. O cálculo é feito pela razão entre o número de combinações de 2 mulheres entre as 7 disponíveis e o total de combinações de 2 pessoas entre os 10 funcionários, usando combinação simples, pois a ordem do sorteio não importa.

A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Como o sorteio é feito sem reposição e a ordem não importa, usamos combinação. O total de maneiras de escolher 2 pessoas entre 10 é $C_{10,2} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} = 45$ . O número de maneiras de escolher 2 mulheres entre 7 é $C_{7,2} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = 21$ . Assim, a probabilidade é $P = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} \approx 0,4667$ , ou seja, 46,67%.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos tentam resolver por probabilidade sequencial (primeiro sorteio e depois segundo), mas esquecem de considerar que o primeiro sorteio reduz o total de funcionários e o total de mulheres. O método por combinação já incorpora essa redução naturalmente.

Sorteio de funcionários — só Mulheres: 7; só Homens: 3; Mulheres∩Homens: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 30% e 35%. O valor correto é 46,67%, bem acima desse intervalo. Esse distrator pode surgir de um cálculo errado, como considerar apenas a probabilidade de sortear uma mulher no primeiro sorteio (70%) e multiplicar por algo incorreto, ou de usar a probabilidade de sortear duas mulheres como se fosse $\frac{7}{10} \times \frac{6}{10} = 42\%$ , que também não está nesse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 35% e 40%. O valor correto é 46,67%. Esse intervalo poderia ser obtido se o candidato calculasse $\frac{7}{10} \times \frac{6}{10} = 42\%$ e, por erro de aproximação, considerasse um valor menor, ou se usasse a combinação de forma incorreta, como $\frac{C_{7,2}}{C_{10,2}} = \frac{21}{45}$ , mas errasse a divisão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 40% e 45%. O valor correto é 46,67%, que está acima de 45%. Esse distrator é clássico para quem calcula $\frac{7}{10} \times \frac{6}{10} = 42\%$ , que é o resultado de considerar os sorteios com reposição (ou seja, como se o primeiro sorteio não alterasse a composição do grupo). A banca explora exatamente essa confusão entre sorteio com e sem reposição.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade é $\frac{C_{7,2}}{C_{10,2}} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} \approx 0,4667$ , ou seja, 46,67%, que está entre 45% e 50%. O cálculo por combinação é o método correto, pois a ordem do sorteio não importa e não há reposição.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 50% e 55%. O valor correto é 46,67%, abaixo de 50%. Esse distrator pode surgir de um erro de cálculo, como considerar $\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = 49\%$ (como se houvesse reposição e o segundo sorteio também tivesse 7 mulheres em 10), ou de um erro de aproximação.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o sorteio sem reposição (que é o caso real) por um cálculo com reposição. Se você fizer $\frac{7}{10} \times \frac{6}{10} = 42\%$ , cai na alternativa C. O correto é usar combinação: $\frac{C_{7,2}}{C_{10,2}} = \frac{21}{45} = 46,67\%$ . Perceba que, sem reposição, a probabilidade é maior que 42%, porque o segundo sorteio tem uma proporção de mulheres ligeiramente maior (6 em 9, em vez de 6 em 10).

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de sorteio sem reposição, sempre use combinação quando a ordem não importar. Se a ordem importasse, usaríamos arranjo. E lembre-se: a probabilidade de dois eventos sucessivos sem reposição é $\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ , que é exatamente o mesmo resultado da combinação. Escolha o método que achar mais intuitivo, mas o resultado é o mesmo.

Gabarito: letra D