Matemática · VUNESP · 2023 | Questão sqc-vu080772

MDC entre um número fatorado e 3 milhões

Gabarito: letra D — o MDC é $2^3 \cdot 3 \cdot 5^5$ . Para calcular o máximo divisor comum entre dois números, fatoramos ambos e tomamos os fatores primos comuns com os menores expoentes. O número 3 milhões, fatorado, é $2^6 \cdot 3 \cdot 5^6$ ; comparando com $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^5$ , os fatores comuns são 2, 3 e 5, e os menores expoentes são 3, 1 e 5, respectivamente.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles simultaneamente. Quando os números estão na forma fatorada, o MDC é obtido selecionando os fatores primos comuns e elevando cada um ao menor expoente que aparece nas fatorações. Esse é o método mais direto e evita cálculos longos.

No problema, o primeiro número já está fatorado: $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^5$ . O segundo número é 3 milhões, que precisa ser fatorado. Vamos fazer isso:

$3.000.000 = 3 \times 10^6 = 3 \times (2 \times 5)^6 = 3 \times 2^6 \times 5^6 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5^6$

Agora, comparamos as duas fatorações:

Fator	$2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^5$	$2^6 \cdot 3 \cdot 5^6$	Menor expoente
2	3	6	3
3	4	1	1
5	5	6	5

Portanto, o MDC é $2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^5$ , que corresponde à letra D.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre MDC e MMC. No MDC, usamos os menores expoentes dos fatores comuns; no MMC, usamos os maiores expoentes de todos os fatores. Se você aplicar a regra do MMC, cairia na alternativa A ( $2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^5$ ), que usa os maiores expoentes. Fique atento: a questão pede MDC, então a regra é "menores expoentes".

Alternativa A — ❌ Incorreta

$2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^5$ — usa os maiores expoentes de cada fator comum, que é a regra do MMC, não do MDC. Além disso, o expoente de 2 (6) e o de 3 (4) não são os menores entre as duas fatorações.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^5$ — o expoente de 3 está errado: deveria ser 1 (menor entre 4 e 1), não 4. O expoente de 2 e o de 5 estão corretos, mas o de 3 não.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2^3 \cdot 32 \cdot 5^5$ — o termo "32" não é uma potência de 3; é $2^5$ . A fatoração correta do fator 3 é $3^1$ , não 32. Além disso, 32 não é primo, então não pode aparecer na fatoração do MDC.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$2^3 \cdot 3 \cdot 5^5$ — exatamente o produto dos fatores comuns com os menores expoentes: $2^3$ , $3^1$ e $5^5$ . Confere com o cálculo acima.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$2^3 \cdot 3 \cdot 5^4$ — o expoente de 5 está errado: deveria ser 5 (menor entre 5 e 6), não 4. O expoente de 2 e o de 3 estão corretos, mas o de 5 não.

Gabarito: letra D