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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
vu081173
Banca
VUNESP
Órgão
APS - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista Portuário - Técnico em Comunicação Social (Publicidade e Propaganda)
Para responder à questão, utilize o texto e a figura a seguir.

Para fazer uma horta em um colégio, foi planejada a demarcação de uma área em forma de um trapézio retângulo conforme mostra a figura a seguir, com as seguintes medidas: AB = 12 m; AD = 13 m; BC = 18 m.


Imagem da questão

(Figura fora de escala)


Antes da execução, o projeto foi modificado com a expansão do lado AD em mais 5 m (no sentido de A para D) e a expansão do lado BC em mais 9 m (no sentido de B para C) mantendo-se o formato de trapézio retângulo.
As alterações no projeto geraram um aumento da medida do contorno da horta em um valor igual a
  1. A2 m.
  2. B5 m.
  3. C9 m.
  4. D14 m.
  5. E16 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 16 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 16 m — alternativa E.

A ideia por trás

O perímetro é a medida do contorno de uma figura, ou seja, a soma de todos os seus lados. No trapézio retângulo, um dos lados é perpendicular às bases, e o outro é inclinado; para achar esse lado inclinado, usa-se o Teorema de Pitágoras, pois a diferença entre as bases e a altura formam um triângulo retângulo.

No trapézio retângulo, o lado inclinado CD é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura AB e a diferença entre as bases (BC - AD). Assim, CD = √(AB² + (BC - AD)²). Quando as bases aumentam, a diferença entre elas também muda, então o lado inclinado precisa ser recalculado — não é fixo.

Esta questão pede o aumento do perímetro, então precisamos calcular o perímetro antes e depois da expansão, usando Pitágoras para achar o lado inclinado em cada situação.

O que a questão dá

  • trapézio retângulo com bases AD = 13 m e BC = 18 m

  • altura AB = 12 m

  • após expansão: AD' = 18 m e BC' = 27 m

O que queremos: o aumento do perímetro da horta após as alterações

Passo 1 — Calcular o lado inclinado original

Para achar o perímetro original, precisamos de todos os lados. O lado inclinado CD não é dado, mas podemos calculá-lo com Pitágoras, pois a diferença entre as bases e a altura formam um triângulo retângulo.

Por que esta fórmula: No trapézio retângulo, a altura AB é perpendicular às bases, então a diferença entre as bases (BC - AD) e a altura são os catetos de um triângulo retângulo, e o lado inclinado é a hipotenusa.

CD = √(AB^2 + (BC - AD)^2)

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 12 m · BCBC = enunciado: 18 m · ADAD = enunciado: 13 m

CD = sqrt12^2 + (18 - 13)^2 = √(144 + 25) = √(169) = 13\ m
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair as bases antes de elevar ao quadrado — usar 18² + 12² daria um valor errado.

Passo 2 — Calcular o perímetro original

Com todos os lados conhecidos, somamos para obter o contorno antes da expansão.

Por que esta fórmula: Perímetro é a soma de todos os lados da figura.

P1=AB+BC+CD+ADP_1 = AB + BC + CD + AD

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 12 m · BCBC = enunciado: 18 m · CDCD = passo 1: 13 m · ADAD = enunciado: 13 m

P1=12+18+13+13=56 mP_1 = 12 + 18 + 13 + 13 = \boxed{56\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os lados em ordem errada ou esquecer algum lado.

Passo 3 — Calcular o novo lado inclinado

Após a expansão, as bases mudaram, então a diferença entre elas também mudou, e o lado inclinado precisa ser recalculado — não é o mesmo de antes.

Por que esta fórmula: A mesma relação de Pitágoras vale, agora com as novas bases.

CD' = √(AB^2 + (BC' - AD')^2)

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 12 m · BC′BC' = enunciado: 27 m · AD′AD' = enunciado: 18 m

CD' = sqrt12^2 + (27 - 18)^2 = √(144 + 81) = √(225) = 15\ m
NÃO CAIA NESSA!

Usar a diferença antiga (5 m) em vez da nova (9 m) — isso daria 13 m, ignorando o aumento do lado inclinado.

Passo 4 — Calcular o novo perímetro

Com o novo lado inclinado, somamos os lados atualizados para obter o contorno após a expansão.

Por que esta fórmula: Perímetro é a soma de todos os lados.

P2=AB+BC′+CD′+AD′P_2 = AB + BC' + CD' + AD'

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 12 m · BC′BC' = enunciado: 27 m · CD′CD' = passo 3: 15 m · AD′AD' = enunciado: 18 m

P2=12+27+15+18=72 mP_2 = 12 + 27 + 15 + 18 = \boxed{72\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o lado inclinado antigo (13 m) no novo perímetro — isso daria 70 m e o aumento sairia errado.

Passo 5 — Subtrair os perímetros

O aumento do contorno é a diferença entre o novo e o antigo perímetro.

Por que esta fórmula: Aumento = valor final - valor inicial.

ΔP=P2−P1\Delta P = P_2 - P_1

De onde vem cada valor: P2P_2 = passo 4: 72 m · P1P_1 = passo 2: 56 m

ΔP=72−56=16 m\Delta P = 72 - 56 = \boxed{16\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas os aumentos das bases (5 + 9 = 14) e esquecer o aumento do lado inclinado (2 m) — a pegadinha da questão.

Resposta: 16 m — alternativa E

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