Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 125.000,00 (alternativa D).

A ideia por trás

A divisão diretamente proporcional é um conceito em que um valor total é repartido em partes que seguem a mesma razão de grandezas dadas. No mundo real, isso aparece, por exemplo, ao distribuir uma herança entre herdeiros conforme suas cotas, ou ao ratear uma despesa entre sócios conforme o capital investido. A unidade aqui é o real (R$), e a ideia é que cada parte recebe um valor que é uma fração do total, onde o denominador é a soma das grandezas e o numerador é a grandeza correspondente. A relação que governa é a proporção: se as grandezas são a, b, c, então as partes são (a/S)T, (b/S)T, (c/S)*T, onde S = a+b+c e T é o total. Quando uma grandeza cresce, a parte correspondente cresce na mesma proporção; quando diminui, a parte diminui. Nesta questão, as grandezas são as populações de crianças, e precisamos primeiro expressar todas em função de uma referência (a população de B) para obter a proporção única, depois dividir o total e calcular a diferença pedida.

O que a questão dá

• verba total = R$ 475.000,00

• população de A = 1,5 × população de B

• população de C = (2/3) × população de B

O que queremos: a diferença entre a verba destinada ao bairro A e a verba destinada ao bairro C

Passo 1 — Expressar as populações em função de B

Precisamos de uma proporção única entre as três populações para dividir a verba. Como o enunciado dá as relações em termos de B, usamos B como referência: A = 1,5B e C = (2/3)B. Isso transforma as relações verbais em expressões algébricas.

Por que esta fórmula: A população de A é 'uma vez e meia' a de B, ou seja, 1,5 vezes B. A de C é 'duas terças partes' da de B, ou seja, 2/3 de B. Essas são traduções diretas do texto.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: população de A é uma vez e meia a de B · $B$ = referência escolhida · $C$ = enunciado: população de C é duas terças partes da de B

Passo 2 — Montar a proporção A:B:C

Com as expressões em função de B, podemos escrever a razão entre as três populações. Isso é necessário para saber em quantas partes iguais dividir a verba.

Por que esta fórmula: A proporção é a comparação das três grandezas. Escrevemos A:B:C = (3/2)B : B : (2/3)B. Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 6 (o MMC de 2 e 3) para eliminar as frações.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{2}B$ = passo 1 · $B$ = passo 1 · $\frac{2}{3}B$ = passo 1 · $9$ = multiplicar 3/2 por 6 · $6$ = multiplicar 1 por 6 · $4$ = multiplicar 2/3 por 6

Passo 3 — Calcular o valor de cada parte proporcional

A verba total deve ser dividida em partes proporcionais a 9, 6 e 4. A soma desses números é o número total de partes, e cada parte vale o total dividido pela soma.

Por que esta fórmula: Na divisão proporcional, cada unidade de proporção recebe o mesmo valor. Então dividimos o total pela soma das partes para achar o valor de uma unidade.

De onde vem cada valor: $475.000$ = enunciado: verba total · $9+6+4$ = passo 2: soma das partes

Passo 4 — Calcular as verbas de A e C

Com o valor de cada unidade, multiplicamos pelas partes correspondentes a A e C para obter as verbas individuais. Isso é necessário para depois subtrair.

Por que esta fórmula: A verba de cada bairro é o número de partes vezes o valor por unidade, pois a divisão é diretamente proporcional.

De onde vem cada valor: $9$ = passo 2: parte de A · $25.000$ = passo 3: valor por unidade · $4$ = passo 2: parte de C

V_A = R$ 225.000,00, V_C = R$ 100.000,00

Passo 5 — Subtrair a verba de C da de A

A pergunta pede a diferença entre as verbas de A e C. Com os valores calculados, basta subtrair.

Por que esta fórmula: Diferença é a subtração entre dois valores.

De onde vem cada valor: $V_A$ = passo 4 · $V_C$ = passo 4

Resposta: R$ 125.000,00 (alternativa D)