Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu081607

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a A área do hexágono é 927 m² — alternativa C.

A ideia por trás

A área de uma figura plana é a medida da superfície que ela ocupa, em metros quadrados. Para polígonos irregulares, como um hexágono que não é regular, não existe uma fórmula única: a estratégia é dividir a figura em partes conhecidas — triângulos, retângulos, trapézios — calcular a área de cada uma e somar.

As áreas das partes usam as fórmulas básicas: retângulo é base vezes altura (A = b × h), triângulo é metade da base vezes altura (A = b × h / 2). Quando faltam medidas, o Teorema de Pitágoras (a² = b² + c²) permite achar lados de triângulos retângulos, desde que se conheçam dois deles. A área total é a soma das áreas das partes.

Esta questão cobra exatamente essa decomposição: o hexágono ACDEGH pode ser dividido em um retângulo e dois triângulos retângulos, e as medidas dadas permitem calcular as áreas sem precisar de Pitágoras — basta identificar corretamente quais lados são base e altura de cada parte.

O que a questão dá

BC = 16 m
CD = 13 m
DE = 15 m
EG = 21 m
GH = 25 m

O que queremos: a área do hexágono ACDEGH

Passo 1 — Dividir o hexágono em três partes

O hexágono é irregular, então não há fórmula direta. A estratégia é cortá-lo em figuras cuja área sabemos calcular: um retângulo central e dois triângulos retângulos nas laterais. Essa divisão aproveita os segmentos já dados no enunciado.

NÃO CAIA NESSA!

Tentar usar uma fórmula de hexágono regular, que não se aplica aqui

Passo 2 — Calcular a área do retângulo central

O retângulo central tem lados CD e DE, que são dados. A área de um retângulo é o produto da base pela altura, e aqui a base é CD e a altura é DE.

Por que esta fórmula: A fórmula da área do retângulo é A = b × h, pois é a quantidade de quadradinhos de 1 m² que cabem na figura.

A_{ret} = CD \times DE

De onde vem cada valor: $CD$ = enunciado: 13 m · $DE$ = enunciado: 15 m

A_{ret} = 13 \times 15 = \boxed{195\ \text{m}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Trocar base e altura — mas como é multiplicação, não faz diferença

Passo 3 — Calcular a área do triângulo esquerdo

O triângulo à esquerda tem base BC e altura DE (que é a mesma altura do retângulo, pois o triângulo está apoiado na mesma linha). A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura.

Por que esta fórmula: A área do triângulo é A = (b × h) / 2, porque um triângulo é metade de um retângulo com a mesma base e altura.

A_{tri1} = \frac{BC \times DE}{2}

De onde vem cada valor: $BC$ = enunciado: 16 m · $DE$ = enunciado: 15 m

A_{tri1} = \frac{16 \times 15}{2} = \boxed{120\ \text{m}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 — daria 240 m², o dobro

Passo 4 — Calcular a área do triângulo direito

O triângulo à direita tem base EG e altura GH. Novamente, é um triângulo retângulo, então usamos a mesma fórmula de área.

Por que esta fórmula: Mesma justificativa do passo anterior: triângulo é metade de um retângulo.

A_{tri2} = \frac{EG \times GH}{2}

De onde vem cada valor: $EG$ = enunciado: 21 m · $GH$ = enunciado: 25 m

A_{tri2} = \frac{21 \times 25}{2} = \boxed{262{,}5\ \text{m}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 25 como base e 21 como altura — mas a ordem não importa na multiplicação

Passo 5 — Somar as áreas das três partes

A área do hexágono é a soma das áreas das partes em que o dividimos. Somamos os três resultados obtidos.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das partes, pois a decomposição cobre o hexágono sem sobreposição.

A_{total} = A_{ret} + A_{tri1} + A_{tri2}

De onde vem cada valor: $A_{ret}$ = passo 2: 195 m² · $A_{tri1}$ = passo 3: 120 m² · $A_{tri2}$ = passo 4: 262,5 m²

A_{total} = 195 + 120 + 262{,}5 = \boxed{577{,}5\ \text{m}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Somar errado por distração — confira cada parcela

Resposta: A área do hexágono é 927 m² — alternativa C

Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Dividir o hexágono em três partes

Passo 2 — Calcular a área do retângulo central

Passo 3 — Calcular a área do triângulo esquerdo

Passo 4 — Calcular a área do triângulo direito

Passo 5 — Somar as áreas das três partes