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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — VUNESP 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
vu081609
Banca
VUNESP
Órgão
DESENVOLVE-SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Sistemas
Em uma modalidade esportiva, o torneio é realizado com partidas de cada participante jogando contra todos os outros de uma única vez. No torneio de 2023, foram realizadas ao todo 105 partidas. Em 2024, a organização do torneio aumentou o número de participantes de modo que ao todo foram realizadas 231 partidas. O número de participantes que foram acrescidos na competição em 2024 foi um número entre
  1. A2 e 5.
  2. B5 e 8.
  3. C8 e 11.
  4. D11 e 14.
  5. E14 e 17.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 5 e 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 7 participantes, que está entre 5 e 8 (alternativa B)..

A ideia por trás

Em um torneio de turno único, cada participante joga contra todos os outros exatamente uma vez. O número total de partidas é dado pela combinação simples C(n,2) = n(n-1)/2, pois cada partida é a escolha de 2 participantes entre n, sem importar a ordem. Essa fórmula cresce com o quadrado de n: se o número de participantes dobra, o número de partidas aproximadamente quadruplica. Nesta questão, precisamos descobrir quantos participantes havia em cada ano, resolvendo a equação para n a partir do número de partidas, e depois calcular a diferença.

O que a questão dá

  • partidas em 2023 = 105

  • partidas em 2024 = 231

O que queremos: o número de participantes acrescidos em 2024

Passo 1 — Montar a fórmula do número de partidas

Precisamos relacionar o número de participantes com o número de partidas. Em um torneio todos contra todos, cada jogo é uma combinação de 2 participantes, então usamos a combinação simples.

Por que esta fórmula: A combinação C(n,2) conta quantos pares distintos podem ser formados com n elementos, que é exatamente o número de partidas.

P=n(n−1)2P = \frac{n(n-1)}{2}

De onde vem cada valor: PP = enunciado: número de partidas · nn = número de participantes (incógnita)

NÃO CAIA NESSA!

Usar n(n-1) sem dividir por 2, esquecendo que cada par é contado uma única vez.

Passo 2 — Resolver a equação para 2023

Com a fórmula, substituímos o número de partidas de 2023 (105) e resolvemos para n, encontrando quantos participantes havia naquele ano.

Por que esta fórmula: A equação é uma quadrática; resolvemos isolando n(n-1) e procurando dois números consecutivos cujo produto seja 210.

n(n−1)2=105⇒n(n−1)=210\frac{n(n-1)}{2} = 105 \Rightarrow n(n-1) = 210

De onde vem cada valor: 105105 = enunciado: partidas em 2023 · nn = número de participantes em 2023

n(n−1)=210n(n-1) = 210
n=15n = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar resolver por tentativa e erro sem reconhecer o produto de consecutivos; ou errar a fatoração de 210.

Passo 3 — Resolver a equação para 2024

Agora fazemos o mesmo para 2024, com 231 partidas, para descobrir o novo número de participantes.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula, agora com P=231; isolamos m(m-1) e procuramos dois consecutivos cujo produto seja 462.

m(m−1)2=231⇒m(m−1)=462\frac{m(m-1)}{2} = 231 \Rightarrow m(m-1) = 462

De onde vem cada valor: 231231 = enunciado: partidas em 2024 · mm = número de participantes em 2024

m(m−1)=462m(m-1) = 462
m=22m = \boxed{22}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 462 com 23×22=506, levando a m=23 e acréscimo errado.

Passo 4 — Calcular a diferença de participantes

O problema pede quantos participantes foram acrescidos, então subtraímos o número de 2023 do de 2024.

Por que esta fórmula: A diferença entre as quantidades de participantes é o acréscimo.

Δ=m−n\Delta = m - n

De onde vem cada valor: mm = passo 3: 22 · nn = passo 2: 15

Δ=22−15=7 participantes\Delta = 22 - 15 = \boxed{7\ \text{participantes}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair os números de partidas (231-105=126) e achar que é o acréscimo de participantes.

Resposta: 7 participantes, que está entre 5 e 8 (alternativa B).

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