Matemática Financeira · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu081620

Taxas Equivalentes em Juros Compostos

Gabarito: letra D (3,9%). A questão pede a taxa mensal equivalente composta a uma taxa bimestral de 8%. No regime de juros compostos, a equivalência entre taxas periódicas é dada por:

(1 + i_{\text{bim}})^{1} = (1 + i_{\text{mes}})^{2}

Para encontrar a taxa mensal, isolamos $i_{\text{mes}}$ :

i_{\text{mes}} = (1 + i_{\text{bim}})^{1/2} - 1 = (1 + 0,08)^{1/2} - 1 = \sqrt{1,08} - 1

Calculando a raiz: $1,03^2 = 1,0609$ ; $1,04^2 = 1,0816$ . A raiz de 1,08 está entre 1,03 e 1,04, mais próxima de 1,04. Aproximando: $1,03923^2 \approx 1,08$ . Assim:

i_{\text{mes}} \approx 1,03923 - 1 = 0,03923 = 3,923\% \approx 3,9\%

Portanto, a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre é de aproximadamente 3,9%.

Caso	Fórmula	Resultado
Taxa bimestral dada	(i_{\text{bim}} = 8\% = 0,08)
Equivalência composta	((1 + i_{\text{mes}})^2 = 1 + i_{\text{bim}})
Isolando (i_{\text{mes}})	(i_{\text{mes}} = (1 + i_{\text{bim}})^{1/2} - 1)
Substituindo valor	(i_{\text{mes}} = (1,08)^{1/2} - 1 = \sqrt{1,08} - 1)
Aproximação da raiz	(1,03923^2 \approx 1,08)
Taxa mensal	(i_{\text{mes}} \approx 0,03923 = 3,923\%)	≈ 3,9%

Alternativa A — ❌ Incorreta (2,3%)

Este valor seria obtido se, erroneamente, se dividisse 8% por 2 (4%) e depois se subtraísse algo, ou se aplicasse juros simples (8%/2=4%), mas ainda assim não é 2,3%. Não corresponde a nenhum cálculo correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta (2,6%)

Também não deriva da fórmula correta. Pode ser tentativa de usar (1,08)^(1/2) de forma equivocada.

Alternativa C — ❌ Incorreta (3,2%)

Valor próximo de 1,032^2=1,065, não equivale a 8% ao bimestre.

Alternativa D — ✅ Correta (3,9%)

Resultado do cálculo correto conforme demonstrado.

Alternativa E — ❌ Incorreta (4,1%)

Se a taxa mensal fosse 4,1%, a bimestral seria (1,041)^2-1 ≈ 8,37%, acima dos 8%.

Gabarito: letra D (3,9%).