Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu082823
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Aparecida - SP
Ano
2024
Nível
Fundamental
Cargo
Agente Comunitário de Saúde
Uma equipe de agentes comunitários de saúde fará uma ação coletiva e, para isso, precisará de pedaços de mangueira e de frascos de um produto antisséptico. Dispõem, no total, de 20 frascos desse produto. Quanto às mangueiras, a equipe dispõe de dois pedaços, com 2,80 m e 3,20 m de comprimento, respectivamente, os quais devem ser divididos em pedaços de mesmo comprimento, sem que haja sobras, e com o maior comprimento possível. Feita essa divisão, serão montados kits que terão pedaços de mangueiras e frascos de produto antisséptico, de modo que, em todos os kits, haja a mesma quantidade de pedaços de mangueira e também a mesma quantidade de frascos do produto, sendo que não sobrará nenhum item fora dos kits. Atendidas essas condições, o maior número possível de kits que poderão ser montados é igual a
  1. A5.
  2. B6.
  3. C8.
  4. D10.
  5. E12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 5 kits (alternativa A).

A ideia por trás

O MDC (máximo divisor comum) é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, sem deixar resto. Ele é usado quando precisamos dividir algo em partes iguais, sem sobras, e do maior tamanho possível. Já o MMC (mínimo múltiplo comum) seria usado se a pergunta fosse sobre quando dois eventos coincidem de novo. Nesta questão, temos duas etapas: primeiro, cortar as mangueiras em pedaços do maior comprimento possível (MDC entre os comprimentos), e depois, montar kits com a mesma quantidade de cada item (MDC entre o total de pedaços e o número de frascos).

O que a questão dá

  • 20 frascos de produto antisséptico

  • mangueira 1: 2,80 m

  • mangueira 2: 3,20 m

O que queremos: o maior número possível de kits que podem ser montados

Passo 1 — Converter metros para centímetros

Para calcular o MDC, precisamos trabalhar com números inteiros. Como as medidas estão em metros, vamos convertê-las para centímetros, pois 1 metro equivale a 100 centímetros. Isso evita decimais e facilita a fatoração.

Por que esta fórmula: 1 m = 100 cm, então multiplicamos por 100.

2,80 m=2,80×100=280 cm2{,}80 \text{ m} = 2{,}80 \times 100 = 280 \text{ cm}

De onde vem cada valor: 2,802{,}80 = enunciado: 2,80 m · 100100 = fator de conversão: 1 m = 100 cm

2,80×100=280=280 cm2{,}80 \times 100 = 280 = \boxed{280\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 2,80 e 3,20 diretamente, o que dificulta o cálculo do MDC.

Passo 2 — Converter a segunda mangueira

Precisamos converter a segunda mangueira também, para que ambas estejam na mesma unidade e possamos calcular o MDC entre elas.

Por que esta fórmula: Mesma conversão: 1 m = 100 cm.

3,20 m=3,20×100=320 cm3{,}20 \text{ m} = 3{,}20 \times 100 = 320 \text{ cm}

De onde vem cada valor: 3,203{,}20 = enunciado: 3,20 m · 100100 = fator de conversão: 1 m = 100 cm

3,20×100=320=320 cm3{,}20 \times 100 = 320 = \boxed{320\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem dos números ou esquecer de converter.

Passo 3 — Calcular o MDC entre 280 e 320

Agora que temos os comprimentos em centímetros, precisamos encontrar o maior comprimento possível que divide ambos sem sobras. Isso é exatamente o MDC.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns com os menores expoentes. Fatoramos cada número e pegamos os fatores que aparecem nos dois, com o menor expoente.

280=23×5×7,320=26×5280 = 2^{3} \times 5 \times 7, \quad 320 = 2^{6} \times 5

De onde vem cada valor: 280280 = passo 1 · 320320 = passo 2

MDC=23×5=8×5=40=40 cmMDC = 2^{3} \times 5 = 8 \times 5 = 40 = \boxed{40\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o MMC em vez do MDC, ou esquecer de pegar os menores expoentes.

Passo 4 — Calcular pedaços da primeira mangueira

Com o comprimento de cada pedaço (40 cm), podemos descobrir quantos pedaços cada mangueira rende, dividindo o comprimento total pelo tamanho do pedaço.

Por que esta fórmula: Número de pedaços = comprimento total ÷ comprimento de cada pedaço.

280÷40=7280 \div 40 = 7

De onde vem cada valor: 280280 = passo 1 · 4040 = passo 3

280÷40=7=7 pedac\cos280 \div 40 = 7 = \boxed{7\ \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir ao contrário (40 ÷ 280) ou errar a conta.

Passo 5 — Calcular pedaços da segunda mangueira

Precisamos do número de pedaços da segunda mangueira para somar com a primeira e obter o total.

Por que esta fórmula: Mesma relação: número de pedaços = comprimento total ÷ comprimento de cada pedaço.

320÷40=8320 \div 40 = 8

De onde vem cada valor: 320320 = passo 2 · 4040 = passo 3

320÷40=8=8 pedac\cos320 \div 40 = 8 = \boxed{8\ \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o resultado da primeira mangueira.

Passo 6 — Somar o total de pedaços

Agora temos os pedaços de cada mangueira; precisamos do total para usar na segunda etapa, que é montar os kits.

Por que esta fórmula: Total = pedaços da primeira + pedaços da segunda.

7+8=157 + 8 = 15

De onde vem cada valor: 77 = passo 4 · 88 = passo 5

7+8=15=15 pedac\cos7 + 8 = 15 = \boxed{15\ \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar ou somar errado.

Passo 7 — Calcular o MDC entre 15 e 20

Agora temos 15 pedaços de mangueira e 20 frascos. Queremos o maior número de kits com a mesma quantidade de cada item, sem sobrar nada. Isso é o MDC entre 15 e 20.

Por que esta fórmula: O MDC entre dois números é o maior número que divide ambos. Fatoramos: 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5. O fator comum é 5.

15=3×5,20=22×515 = 3 \times 5, \quad 20 = 2^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 1515 = passo 6 · 2020 = enunciado: 20 frascos

MDC=5=5 kitsMDC = 5 = \boxed{5\ \text{kits}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o MMC (que seria 60) ou confundir com o MDC da primeira etapa (40).

Resposta: 5 kits (alternativa A)

Link permanente: /questoes/vu082823