Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 25 alunos (alternativa C).

A ideia por trás

A média aritmética simples é o valor que representa o equilíbrio de um conjunto de números: somamos todos os valores e dividimos pela quantidade deles. Ela responde à pergunta 'se todos tivessem a mesma nota, qual seria essa nota?'. A unidade é a mesma dos dados (nota), e ela depende de dois fatores: a soma total e o número de elementos — aumentar a soma eleva a média, aumentar a quantidade de elementos (sem aumentar a soma) reduz a média.

A relação que governa é Média = Soma ÷ Quantidade. Se chamarmos a quantidade de alunos com nota 8,0 de x, a soma total fica 11·10 + 8·9 + x·8, e a quantidade total fica 19 + x. Como a média é conhecida (9,2), montamos uma equação e isolamos x. É uma equação do primeiro grau, que se resolve passando os termos de um lado para o outro.

Nesta questão, o que se cobra é justamente montar essa equação a partir dos dados e resolvê-la. O passo final é lembrar que o total de alunos é 19 + x, não apenas x.

O que a questão dá

• 11 alunos com nota 10,0

• 8 alunos com nota 9,0

• demais alunos com nota 8,0

• média aritmética = 9,2

O que queremos: o total de alunos que fez a prova

Passo 1 — Chamar de x os alunos com nota 8,0

Não sabemos quantos alunos tiraram 8,0 — o enunciado diz apenas 'os demais'. Para montar a média, precisamos de uma incógnita que represente essa quantidade. Chamar de x é o primeiro passo para transformar o problema em equação.

Passo 2 — Calcular a soma de todas as notas

A média é a soma dividida pela quantidade. Para usar a média dada (9,2), precisamos primeiro expressar a soma total em função de x. Cada nota 10,0 contribui com 10; são 11 alunos, então 11×10. Cada nota 9,0 contribui com 9; são 8 alunos, então 8×9. Cada nota 8,0 contribui com 8; são x alunos, então x×8.

Por que esta fórmula: A soma de notas é a soma das contribuições de cada grupo: quantidade de alunos vezes a nota de cada um. É a definição de soma quando há valores repetidos.

De onde vem cada valor: $11$ = enunciado: onze alunos tiraram nota 10,0 · $10$ = enunciado: nota 10,0 · $8$ = enunciado: nota 8,0 · $9$ = enunciado: nota 9,0 · $x$ = passo 1

Passo 3 — Calcular o total de alunos

A média também precisa do número total de alunos no denominador. Esse total é a soma das quantidades de cada grupo: 11 + 8 + x. Sem isso, não dá para montar a equação da média.

Por que esta fórmula: O total de alunos é a soma das quantidades de cada faixa de nota, pois cada aluno pertence a exatamente um grupo.

De onde vem cada valor: $11$ = enunciado: onze alunos tiraram nota 10,0 · $8$ = enunciado: oito alunos tiraram nota 9,0 · $x$ = passo 1

Passo 4 — Montar a equação da média

Agora que temos a soma (S) e o total (T) em função de x, podemos usar a definição de média: média = soma ÷ total. O enunciado diz que a média é 9,2, então igualamos a fração a 9,2. Essa é a equação que resolve o problema.

Por que esta fórmula: A média aritmética é definida como a soma dos valores dividida pela quantidade de valores. Como conhecemos a média, montamos a igualdade.

De onde vem cada valor: $182 + 8x$ = passo 2: soma das notas · $19 + x$ = passo 3: total de alunos · $9{,}2$ = enunciado: média igual a 9,2

Passo 5 — Resolver a equação para achar x

Com a equação montada, precisamos isolar x. Multiplicamos em cruz para eliminar a fração, depois passamos os termos com x para um lado e os números para o outro. Isso é a manipulação algébrica padrão para equações do primeiro grau.

Por que esta fórmula: Multiplicar em cruz é a forma de eliminar o denominador: (182 + 8x) = 9,2 × (19 + x). Depois distribuímos e isolamos x.

De onde vem cada valor: $182 + 8x$ = passo 2 · $9{,}2$ = enunciado · $19 + x$ = passo 3

Passo 6 — Calcular o total de alunos

A pergunta é o total de alunos, não a quantidade de alunos com nota 8,0. Já sabemos que x = 6, então o total é 19 + x = 19 + 6 = 25. Esse é o passo final, que responde diretamente ao enunciado.

Por que esta fórmula: O total de alunos foi definido no passo 3 como 19 + x. Agora substituímos o valor de x encontrado.

De onde vem cada valor: $19$ = passo 3 · $x$ = passo 5: x = 6

Resposta: 25 alunos (alternativa C)