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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — VUNESP 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
vu083017
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Ilhabela - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica I
No início do ano letivo, um professor desenvolveu uma atividade, pedindo para que cada aluno de uma sala de aula conversasse com cada colega da sala e anotasse as principais qualidades desse colega em cartões distribuídos. Ao final, a tarefa proposta foi que cada aluno escrevesse o nome e as qualidades anotadas de cada colega da sala de aula utilizando um cartão para cada colega. A atividade foi plenamente realizada, ou seja, cada aluno escreveu um cartão para cada colega da sala de aula, o que resultou em um total de 650 cartões, dos quais, cada aluno recebeu os cartões com o seu nome. Logo, a quantidade de cartões que cada aluno recebeu com o seu nome foi igual a
  1. A25.
  2. B26.
  3. C27.
  4. D28.
  5. E29.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 25.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 25 cartões (alternativa A).

A ideia por trás

O princípio multiplicativo da contagem diz que, se uma ação acontece em etapas independentes, o número total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, a ação é cada aluno escrever cartões para os colegas: com n alunos, cada um escreve para n−1 colegas, então o total de cartões é n×(n−1). Esse total cresce com o quadrado de n, então, para 650 cartões, n fica em torno de 26. A pegadinha da questão é que ela pergunta quantos cartões cada aluno recebe, que é n−1, e não o número de alunos n. Por isso, depois de achar n, precisamos subtrair 1.

O que a questão dá

  • total de cartões = 650

  • cada aluno escreve um cartão para cada colega (não para si mesmo)

O que queremos: a quantidade de cartões que cada aluno recebeu com o seu nome

Passo 1 — Montar a equação do total de cartões

Precisamos relacionar o número de alunos com o total de cartões. Como cada aluno escreve para todos os outros, o total é o produto do número de alunos pelo número de colegas de cada um.

Por que esta fórmula: Se há n alunos, cada um escreve para n−1 colegas (não escreve para si). Pelo princípio multiplicativo, o total de cartões é n×(n−1).

n×(n−1)=650n \times (n-1) = 650

De onde vem cada valor: nn = número de alunos (incógnita) · n−1n-1 = cada aluno escreve para todos, menos ele mesmo · 650650 = enunciado: total de cartões

n×(n−1)=650n \times (n-1) = 650
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que cada aluno não escreve para si mesmo, usando n×n = 650.

Passo 2 — Expandir e reorganizar a equação

Para resolver a equação do passo 1, precisamos colocá-la na forma padrão de uma equação do segundo grau, que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: Expandindo n(n−1) obtemos n²−n, e subtraindo 650 dos dois lados, a equação fica igual a zero.

n2−n−650=0n^{2} - n - 650 = 0

De onde vem cada valor: n2n^{2} = passo 1: n × n · −n-n = passo 1: n × (−1) · −650-650 = passo 1: subtrair 650 dos dois lados

n2−n−650=0n^{2} - n - 650 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar o 650 para o outro lado.

Passo 3 — Resolver a equação do segundo grau

Com a equação na forma padrão, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de n.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do tipo ax²+bx+c=0. Aqui a=1, b=−1, c=−650.

n=−b±b2−4ac2an = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = coeficiente de n²: 1 · bb = coeficiente de n: −1 · cc = termo constante: −650

n=1±1+26002n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2600}}{2}

n = 26 ou n = −25

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar a raiz negativa, mas ela é descartada por não fazer sentido.

Passo 4 — Descartar a raiz negativa

O número de alunos não pode ser negativo, então ficamos apenas com a solução positiva.

n=26 alunosn = \boxed{26\ \text{alunos}}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar n = −25 como possível, o que não faz sentido no contexto.

Passo 5 — Calcular os cartões recebidos por aluno

A pergunta é quantos cartões cada aluno recebeu. Cada aluno recebe um cartão de cada um dos outros n−1 colegas, então precisamos subtrair 1 do total de alunos.

Por que esta fórmula: Como cada aluno não escreve para si mesmo, ele recebe cartões apenas dos outros n−1 colegas.

carto˜es por aluno=n−1cart\~oes\ por\ aluno = n - 1

De onde vem cada valor: nn = passo 4: 26 alunos · 11 = o próprio aluno não escreve para si

carto˜es por aluno=26−1=25 carto~escart\~oes\ por\ aluno = 26 - 1 = \boxed{25\ \text{cart}õ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Responder 26, que é o número de alunos, em vez de 25.

Resposta: 25 cartões (alternativa A)

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