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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu083022
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Ilhabela - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica I
Tem-se certa quantidade de bombons, menor que 200 unidades, à qual, se fossem adicionadas 3 unidades, então o total poderia ser dividido em saquinhos, todos com a mesma quantidade de bombons, sendo cada um com 6, ou cada um com 7, ou cada um com 8 bombons sem sobra. Dividindo-se a quantidade de bombons que se tem em saquinhos com 10 bombons cada, o número de bombons que sobrará será igual a
  1. A6.
  2. B5.
  3. C4.
  4. D3.
  5. E2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a Resto = 5, alternativa B..

A ideia por trás

Quando um número pode ser dividido em grupos iguais sem sobrar nada, ele é múltiplo do tamanho do grupo. Se ele é divisível por 6, 7 e 8 ao mesmo tempo, então ele é um múltiplo comum desses três números. O menor múltiplo comum é o MMC, e todos os outros múltiplos comuns são múltiplos do MMC. Nesta questão, a quantidade de bombons mais 3 é um múltiplo comum de 6, 7 e 8, e como a quantidade é menor que 200, só existe um múltiplo comum possível: o próprio MMC. Depois de achar esse número, subtraímos 3 para obter a quantidade real e calculamos o resto da divisão por 10.

O que a questão dá

  • quantidade de bombons < 200

  • quantidade + 3 é divisível por 6, 7 e 8

O que queremos: o resto da divisão da quantidade de bombons por 10

Passo 1 — Calcular o MMC de 6, 7 e 8

Precisamos achar o menor número que é divisível por 6, 7 e 8 ao mesmo tempo, porque o enunciado diz que a quantidade de bombons mais 3 pode ser dividida em grupos de 6, 7 ou 8 sem sobrar. O MMC é exatamente esse número.

Por que esta fórmula: Para calcular o MMC, fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente. Isso garante que o resultado seja divisível por todos os números.

MMC(6,7,8)=23×3×7\text{MMC}(6{,}7,8) = 2^{3} \times 3 \times 7

De onde vem cada valor: 232^{3} = fatoração de 8 = 2^3 · 33 = fatoração de 6 = 2 × 3 · 77 = fatoração de 7 = 7

MMC=8×3×7=168\text{MMC} = 8 \times 3 \times 7 = \boxed{168}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 7, achando MMC = 24, o que daria um número errado.

Passo 2 — Subtrair 3 do MMC para achar a quantidade

O MMC é o número que é divisível por 6, 7 e 8, mas o enunciado diz que a quantidade de bombons mais 3 é esse número. Então a quantidade real é o MMC menos 3.

Por que esta fórmula: Se quantidade + 3 = 168, então quantidade = 168 - 3.

Q=168−3Q = 168 - 3

De onde vem cada valor: 168168 = passo 1 · 33 = enunciado: 'adicionadas 3 unidades'

Q=168−3=165 bombonsQ = 168 - 3 = \boxed{165\ \text{bombons}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 168 como a quantidade de bombons, sem subtrair 3, e depois errar o resto.

Passo 3 — Dividir 165 por 10 e achar o resto

Agora que sabemos a quantidade de bombons, precisamos saber quanto sobra ao dividir por 10. O resto da divisão é o que sobra.

Por que esta fórmula: A divisão de 165 por 10 dá 16 inteiros e sobra 5, porque 16 × 10 = 160 e 165 - 160 = 5.

165=10×16+5165 = 10 \times 16 + 5

De onde vem cada valor: 165165 = passo 2 · 1010 = enunciado: 'saquinhos com 10 bombons cada'

165=10×16+5165 = 10 \times 16 + 5
resto=5resto = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o resto com o quociente, ou pensar que o resto é 165 - 160 = 5, mas errar na conta.

Resposta: Resto = 5, alternativa B.

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