Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 15,00 (alternativa B).

A ideia por trás

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas; resolver o sistema é encontrar os valores que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Aqui, as incógnitas são os preços unitários dos produtos A e B, e as equações vêm dos totais pagos por Ana e João. A relação entre os preços de Ana e João é dada pelas diferenças informadas: João paga R$ 2,00 a menos no produto A, e Ana paga R$ 3,00 a menos no produto B. Nesta questão, montamos o sistema com essas relações e resolvemos para achar o preço de A para Ana.

O que a questão dá

• Ana: 12 unidades de A e 10 de B, total R$ 360,00

• João: 14 unidades de A e 5 de B, total R$ 287,00

• João pagou R$ 2,00 a menos que Ana no produto A

• Ana pagou R$ 3,00 a menos que João no produto B

O que queremos: o preço unitário do produto A pago por Ana

Passo 1 — Definir as incógnitas

Precisamos nomear os valores que queremos descobrir para poder montar as equações. Vamos chamar de 'a' o preço do produto A para Ana e de 'b' o preço do produto B para Ana.

Passo 2 — Expressar os preços de João

As equações de Ana e João usam preços diferentes. Como o enunciado dá as diferenças, precisamos escrever o preço de João em função dos preços de Ana para montar a equação dele.

Por que esta fórmula: João paga R$ 2,00 a menos no produto A, então o preço dele é 'a - 2'. Ana paga R$ 3,00 a menos no produto B, então o preço de João no B é 'b + 3' (pois o de Ana é menor).

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1 · $b$ = passo 1 · $a_{João}$ = enunciado: João pagou R$ 2,00 a menos que Ana no produto A · $b_{João}$ = enunciado: Ana pagou R$ 3,00 a menos que João no produto B

Passo 3 — Montar a equação de Ana

O total pago por Ana é a soma das quantidades vezes os preços. Isso nos dá a primeira equação do sistema.

Por que esta fórmula: O custo total é quantidade vezes preço unitário. Ana comprou 12 de A e 10 de B, então 12a + 10b = 360.

De onde vem cada valor: $12$ = enunciado: Ana comprou 12 unidades do produto A · $a$ = passo 1 · $10$ = enunciado: Ana comprou 10 unidades do produto B · $b$ = passo 1 · $360$ = enunciado: pagando ao todo R$ 360,00

Passo 4 — Montar a equação de João

O total pago por João também é quantidade vezes preço, mas usando os preços dele, que já expressamos no passo 2. Isso nos dá a segunda equação.

Por que esta fórmula: João comprou 14 de A e 5 de B, com preços (a-2) e (b+3). Então 14(a-2) + 5(b+3) = 287.

De onde vem cada valor: $14$ = enunciado: João comprou 14 unidades do produto A · $a - 2$ = passo 2 · $5$ = enunciado: João comprou 5 unidades do produto B · $b + 3$ = passo 2 · $287$ = enunciado: pagando ao todo R$ 287,00

Passo 5 — Simplificar a equação de João

Para resolver o sistema, precisamos deixar as equações na forma mais simples, sem parênteses.

Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva: 14(a-2) = 14a - 28 e 5(b+3) = 5b + 15. Depois somamos os termos constantes: -28 + 15 = -13, e passamos para o outro lado.

De onde vem cada valor: $14a$ = passo 4: 14(a-2) distribuído · $5b$ = passo 4: 5(b+3) distribuído · $300$ = passo 4: 287 + 13 = 300

Passo 6 — Eliminar uma incógnita

Com duas equações e duas incógnitas, podemos somar ou subtrair as equações para cancelar uma delas. Aqui, multiplicamos a segunda por 2 para igualar o coeficiente de b.

Por que esta fórmula: Multiplicar a equação 14a + 5b = 300 por 2 dá 28a + 10b = 600. Assim, o coeficiente de b fica 10, igual ao da primeira equação, e ao subtrair uma da outra o b some.

De onde vem cada valor: $28a$ = passo 5: 14a × 2 · $10b$ = passo 5: 5b × 2 · $600$ = passo 5: 300 × 2

Passo 7 — Subtrair as equações

Subtraindo a primeira equação da nova segunda, o termo com b se anula, sobrando uma equação só com a, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: A subtração é feita termo a termo: (28a - 12a) + (10b - 10b) = 600 - 360. Isso elimina b e dá 16a = 240.

De onde vem cada valor: $16a$ = passo 6: 28a - 12a · $240$ = passo 6: 600 - 360

Passo 8 — Isolar a incógnita a

Agora temos uma equação simples com apenas a. Dividindo ambos os lados por 16, encontramos o valor de a.

Por que esta fórmula: Para isolar a, dividimos os dois lados da equação por 16, pois a está multiplicado por 16.

De onde vem cada valor: $240$ = passo 7 · $16$ = passo 7: coeficiente de a

Resposta: R$ 15,00 (alternativa B)