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Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Plana
Código
vu083275
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Lins - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Diretor Escolar
O retângulo ABCD, que representa o terreno plano de uma escola, possui 429 m² de área. Sabe-se ainda que o terreno possui (2x+3) metros por (7x–2) metros, como indica a figura:Imagem associada para resolução da questãoSabendo-se que 157² = 24649, o perímetro do terreno da escola é igual a
  1. A89 m.
  2. B92 m.
  3. C94 m.
  4. D96 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 92 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 92 m — alternativa B.

A ideia por trás

Um retângulo é uma figura de quatro lados com quatro ângulos retos. A área é a medida da superfície interna, calculada multiplicando o comprimento pela largura. O perímetro é a medida do contorno, ou seja, a soma de todos os lados; no retângulo, como os lados opostos são iguais, o perímetro é duas vezes a soma da base com a altura.

A área de um retângulo é A = base × altura. Se as dimensões são dadas em função de uma incógnita x, substituímos na fórmula e obtemos uma equação. O perímetro é P = 2 × (base + altura). Quando a equação da área é do segundo grau, usamos a fórmula de Bhaskara para achar x, e depois substituímos nas expressões das dimensões.

Esta questão fornece a área e as dimensões em função de x, então precisamos montar a equação da área, resolver para x e então calcular o perímetro. A dica 157² = 24649 indica que o discriminante será um quadrado perfeito, facilitando a raiz.

O que a questão dá

  • área do retângulo = 429 m²

  • base = (2x + 3) m

  • altura = (7x − 2) m

  • 157² = 24649

O que queremos: o perímetro do terreno retangular

Passo 1 — Montar a equação da área

A área do retângulo é o produto da base pela altura. Como conhecemos a área (429 m²) e as dimensões em função de x, substituímos na fórmula para obter uma equação que nos permitirá achar x.

Por que esta fórmula: A fórmula da área do retângulo é A = base × altura. É a relação direta entre os dados fornecidos e a incógnita.

(2x+3)(7x−2)=429(2x+3)(7x-2) = 429

De onde vem cada valor: 2x+32x+3 = enunciado: base = (2x+3) m · 7x−27x-2 = enunciado: altura = (7x-2) m · 429429 = enunciado: área = 429 m²

(2x+3)(7x−2)=429(2x+3)(7x-2) = 429
14x2+17x−435=014x^{2} + 17x - 435 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a expansão do produto: (2x+3)(7x-2) = 14x² -4x +21x -6 = 14x² +17x -6, e depois subtrair 429 dos dois lados.

Passo 2 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

A equação do segundo grau obtida precisa ser resolvida para encontrar o valor de x. A fórmula de Bhaskara é o método padrão para isso.

Por que esta fórmula: A equação é da forma ax² + bx + c = 0, então usamos x = (-b ± √Δ)/(2a), com Δ = b² - 4ac.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = passo 1: 14 · bb = passo 1: 17 · cc = passo 1: -435

x=−17±172−4⋅14⋅(−435)2⋅14x = \frac{-17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 14 \cdot (-435)}}{2 \cdot 14}
x=5(aoutraraizeˊnegativaedescartada)x = \boxed{5 (a outra raiz é negativa e descartada)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar o sinal de c: -435, o que alteraria o discriminante.

Passo 3 — Calcular as dimensões com x = 5

Com o valor de x encontrado, substituímos nas expressões das dimensões para obter os comprimentos reais dos lados.

Por que esta fórmula: As dimensões são dadas em função de x, então basta substituir o valor encontrado.

base=2x+3,altura=7x−2base = 2x+3, altura = 7x-2

De onde vem cada valor: xx = passo 2: 5 · 2x+32x+3 = enunciado: base = (2x+3) m · 7x−27x-2 = enunciado: altura = (7x-2) m

base=2⋅5+3=13,altura=7⋅5−2=33base = 2 \cdot 5 + 3 = 13, altura = 7 \cdot 5 - 2 = 33

base = 13 m, altura = 33 m

NÃO CAIA NESSA!

Errar a aritmética: 2·5+3 = 13, 7·5-2 = 33.

Passo 4 — Calcular o perímetro

O perímetro é a soma de todos os lados. Com as dimensões conhecidas, aplicamos a fórmula do perímetro do retângulo.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é P = 2 × (base + altura), pois os lados opostos são iguais.

P=2×(base+altura)P = 2 \times (base + altura)

De onde vem cada valor: basebase = passo 3: 13 m · alturaaltura = passo 3: 33 m

P=2×(13+33)=2×46=92 mP = 2 \times (13 + 33) = 2 \times 46 = \boxed{92\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2, dando 46 m.

Resposta: 92 m — alternativa B

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