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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu083278
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Lins - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Diretor Escolar
Para arrecadar fundos para a formatura, os alunos do 9º ano de uma escola decidiram vender certo número de rifas de uma bicicleta e outro número de rifas de um skate. Cada rifa da bicicleta custava R$ 15,00, e cada rifa do skate custava R$ 8,00. Ao término das vendas, os alunos arrecadaram R$ 3.056,00, tendo vendido um total de 270 rifas. O número de rifas vendidas de skate superou o número de rifas vendidas da bicicleta em
  1. A14.
  2. B16.
  3. C18.
  4. D20.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 14.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 14 rifas (alternativa A).

A ideia por trás

Este problema envolve duas quantidades desconhecidas: o número de rifas de bicicleta (b) e o número de rifas de skate (s). Cada rifa tem um preço, e a arrecadação total é a soma dos produtos de cada quantidade pelo seu preço. Quando temos duas incógnitas, precisamos de duas equações independentes para encontrá-las. Aqui, as duas informações são: o total de rifas (b + s = 270) e o total arrecadado (15b + 8s = 3056). O sistema de equações do 1º grau é a ferramenta que relaciona essas informações. Resolvendo o sistema, encontramos os valores de b e s, e a diferença pedida é s - b. A questão testa a habilidade de montar e resolver um sistema linear a partir de um contexto prático.

O que a questão dá

  • preço da rifa da bicicleta = R$ 15,00

  • preço da rifa do skate = R$ 8,00

  • total arrecadado = R$ 3.056,00

  • total de rifas vendidas = 270

O que queremos: a diferença entre o número de rifas de skate e o número de rifas de bicicleta

Passo 1 — Definir as incógnitas

Para resolver o problema, precisamos nomear as quantidades desconhecidas. Vamos chamar de b o número de rifas de bicicleta e de s o número de rifas de skate. Isso transforma o texto em equações.

NÃO CAIA NESSA!

Trocar as incógnitas: usar b para skate e s para bicicleta, o que bagunça as equações.

Passo 2 — Montar a equação do total de rifas

A primeira informação é que o total de rifas vendidas é 270. Isso significa que a soma das rifas de bicicleta e de skate é 270. Essa equação relaciona as duas incógnitas.

Por que esta fórmula: A soma das quantidades de cada tipo de rifa deve ser igual ao total vendido, pois cada rifa vendida é ou de bicicleta ou de skate.

b+s=270b + s = 270

De onde vem cada valor: bb = definido no passo 1 · ss = definido no passo 1 · 270270 = enunciado: total de rifas vendidas

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o total é a soma, não a diferença.

Passo 3 — Montar a equação do total arrecadado

A segunda informação é o valor arrecadado: R$ 3.056,00. Cada rifa de bicicleta contribui com R$ 15,00 e cada rifa de skate com R$ 8,00. A arrecadação total é a soma dessas contribuições, então montamos essa equação.

Por que esta fórmula: O dinheiro arrecadado com bicicletas é 15 vezes o número de rifas de bicicleta, e com skates é 8 vezes o número de rifas de skate. A soma desses valores é o total arrecadado.

15b+8s=305615b + 8s = 3056

De onde vem cada valor: 1515 = enunciado: preço da rifa da bicicleta · bb = passo 1 · 88 = enunciado: preço da rifa do skate · ss = passo 1 · 30563056 = enunciado: total arrecadado

NÃO CAIA NESSA!

Inverter os preços: usar 8b + 15s, o que daria resultado errado.

Passo 4 — Isolar uma incógnita na primeira equação

Com duas equações e duas incógnitas, o método da substituição é eficiente. Isolamos b na equação do total de rifas para substituir na equação do arrecadado.

Por que esta fórmula: Da equação b + s = 270, subtraímos s dos dois lados para deixar b sozinho.

b=270−sb = 270 - s

De onde vem cada valor: 270270 = passo 2 · ss = passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Isolar s em vez de b, mas isso também funciona; o importante é substituir corretamente.

Passo 5 — Substituir b na equação do arrecadado

Agora que b está em função de s, substituímos essa expressão na segunda equação para ficar com uma equação apenas com s.

Por que esta fórmula: Substituir b por (270 - s) na equação 15b + 8s = 3056 elimina a incógnita b, permitindo resolver para s.

15(270−s)+8s=305615(270 - s) + 8s = 3056

De onde vem cada valor: 1515 = passo 3 · 270−s270 - s = passo 4 · 88 = passo 3 · ss = passo 1 · 30563056 = passo 3

15⋅(270−s)+8s=305615 \cdot (270 - s) + 8s = 3056
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar 15 por ambos os termos dentro do parêntese: 15·270 - 15·s.

Passo 6 — Resolver a equação para s

A equação agora tem apenas s. Precisamos simplificar e isolar s para descobrir quantas rifas de skate foram vendidas.

Por que esta fórmula: Distribuímos o 15, combinamos os termos com s, e isolamos s realizando operações inversas.

4050−15s+8s=3056⇒4050−7s=3056⇒−7s=−994⇒s=99474050 - 15s + 8s = 3056 \Rightarrow 4050 - 7s = 3056 \Rightarrow -7s = -994 \Rightarrow s = \frac{994}{7}

De onde vem cada valor: 40504050 = 15 · 270 · −15s-15s = 15 · (-s) · 8s8s = passo 5 · 30563056 = passo 5 · 994994 = 4050 - 3056 · 77 = 15 - 8

4050−15s+8s=3056⇒4050−7s=3056⇒−7s=−994⇒s=142=142 rifasdeskate4050 - 15s + 8s = 3056 \Rightarrow 4050 - 7s = 3056 \Rightarrow -7s = -994 \Rightarrow s = 142 = \boxed{142\ \text{rifas} \text{de} \text{skate}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover termos: -7s = -994, não 7s = 994.

Passo 7 — Calcular o número de rifas de bicicleta

Com s conhecido, usamos a equação do total de rifas para encontrar b.

Por que esta fórmula: Da equação b + s = 270, subtraímos s dos dois lados.

b=270−sb = 270 - s

De onde vem cada valor: 270270 = passo 2 · ss = passo 6: 142

b=270−142=128 rifasdebicicletab = 270 - 142 = \boxed{128\ \text{rifas} \text{de} \text{bicicleta}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a equação do arrecadado para achar b, o que é mais trabalhoso.

Passo 8 — Calcular a diferença entre skate e bicicleta

A pergunta pede o quanto o número de rifas de skate supera o de bicicleta. Com os dois valores, basta subtrair.

Por que esta fórmula: A diferença é s - b, pois queremos o excesso de skate sobre bicicleta.

s−bs - b

De onde vem cada valor: ss = passo 6: 142 · bb = passo 7: 128

142−128=14 rifas142 - 128 = \boxed{14\ \text{rifas}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (b - s), o que daria -14 e não corresponde à pergunta.

Resposta: 14 rifas (alternativa A)

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