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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu083418
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Lins - SP
Ano
2024
Nível
Fundamental
Cargo
Merendeira
A cada 10 dias Ingrid faz manicure, a cada 15 dias ela faz pedicure e a cada 20 dias ela pinta o cabelo. Supondo que hoje ela realize os três procedimentos, ela voltará a fazer, no mesmo dia, os três procedimentos daqui a
  1. A30 dias.
  2. B45 dias.
  3. C60 dias.
  4. D90 dias.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 60 dias.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 60 dias (alternativa C).

A ideia por trás

Quando um evento se repete a cada certo número de dias, os dias em que ele ocorre são os múltiplos desse número. Por exemplo, a manicure acontece nos dias 10, 20, 30, 40... Para que os três procedimentos coincidam, o dia deve ser múltiplo de 10, 15 e 20 ao mesmo tempo. O menor desses múltiplos comuns (excluindo o zero) é o MMC (mínimo múltiplo comum). O MMC é o menor número que é divisível por todos os números dados. Nesta questão, precisamos calcular o MMC de 10, 15 e 20, pois é o primeiro dia em que os três eventos ocorrem juntos novamente.

O que a questão dá

  • manicure a cada 10 dias

  • pedicure a cada 15 dias

  • pintar o cabelo a cada 20 dias

O que queremos: o menor número de dias até os três procedimentos coincidirem novamente

Passo 1 — Entender que é um problema de MMC

Precisamos identificar que o problema pede o menor intervalo em que os três eventos coincidem. Isso é exatamente o conceito de mínimo múltiplo comum (MMC): o menor número que é múltiplo de todos os períodos. Se fosse para dividir algo em partes iguais, usaríamos MDC, mas aqui é coincidência de períodos.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir MMC com MDC. MDC seria para dividir em partes iguais, não para coincidência de períodos.

Passo 2 — Fatorar os números em primos

Para calcular o MMC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso nos dá os 'blocos' que compõem cada número, e o MMC será o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o método padrão para encontrar o MMC, pois permite identificar todos os fatores necessários para que o resultado seja divisível por todos os números.

10=2×5,15=3×5,20=22×510 = 2 \times 5, \quad 15 = 3 \times 5, \quad 20 = 2^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: manicure a cada 10 dias · 1515 = enunciado: pedicure a cada 15 dias · 2020 = enunciado: pintar o cabelo a cada 20 dias

10=2×5,15=3×5,20=22×510 = 2 \times 5, \quad 15 = 3 \times 5, \quad 20 = 2^{2} \times 5
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, por exemplo, escrever 20 = 2 × 10 em vez de 2² × 5.

Passo 3 — Tomar os fatores com maior expoente

O MMC deve conter cada fator primo presente em qualquer um dos números, com o maior expoente que aparece. Isso garante que o MMC seja divisível por todos eles.

Por que esta fórmula: A regra do MMC: para cada primo, escolha o maior expoente entre as fatorações. Aqui, temos 2² (de 20), 3 (de 15) e 5 (de todos).

MMC=22×3×5MMC = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 2: 20 = 2^2 × 5, maior expoente de 2 · 33 = passo 2: 15 = 3 × 5, único fator 3 · 55 = passo 2: presente em todos

MMC=22×3×5MMC = 2^{2} \times 3 \times 5
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os fatores comuns (2 e 5) e esquecer o 3, resultando em 20.

Passo 4 — Multiplicar os fatores escolhidos

Agora que temos os fatores com os maiores expoentes, multiplicamos para obter o MMC. Esse é o número que será múltiplo de 10, 15 e 20.

Por que esta fórmula: A multiplicação dos fatores primos selecionados produz o menor número que contém todos os fatores necessários.

MMC=4×3×5MMC = 4 \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 44 = passo 3: 2^2 = 4 · 33 = passo 3: fator 3 · 55 = passo 3: fator 5

MMC=4×3×5=60 diasMMC = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60\ \text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação, por exemplo, 4 × 3 = 12 e depois 12 × 5 = 60, mas alguns podem fazer 4 × 5 = 20 e esquecer o 3.

Resposta: 60 dias (alternativa C)

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