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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu084447
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Monte Alto - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Veterinário
A maior aresta de um paralelepípedo reto-retângulo excede em 7 cm a menor aresta, e a aresta de medida intermediária mede 8 cm.Sabendo que a área da face de menor área desse paralelepípedo é 32 cm² , seu volume é igual a:
  1. A352 cm³
  2. B384 cm³
  3. C416 cm³
  4. D448cm³
  5. E480 cm³
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 352 cm³

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 352 cm³ (alternativa A).

A ideia por trás

Um paralelepípedo reto-retângulo é um bloco com seis faces retangulares, e suas três arestas que se encontram em um vértice são as dimensões: comprimento, largura e altura. O volume é o produto dessas três dimensões: V = a · b · c. Cada face tem área igual ao produto de duas arestas; como as arestas têm medidas diferentes, as faces têm áreas diferentes, e a face de menor área é formada pelas duas menores arestas. Nesta questão, usamos a área da face menor para descobrir a menor aresta, depois a relação com a maior, e então calculamos o volume.

O que a questão dá

  • maior aresta = menor aresta + 7 cm

  • aresta intermediária = 8 cm

  • área da face de menor área = 32 cm²

O que queremos: o volume do paralelepípedo

Passo 1 — Nomear as arestas

Precisamos de nomes para as três arestas para escrever as relações do enunciado. Chamar a menor de x, a intermediária de y e a maior de z organiza o problema.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir qual aresta é a menor: a intermediária é 8 cm, mas a menor é desconhecida.

Passo 2 — Escrever a relação entre as arestas

O enunciado diz que a maior aresta excede a menor em 7 cm, então z = x + 7. Também sabemos que y = 8. Isso relaciona as três arestas.

Por que esta fórmula: A frase 'excede em 7 cm' significa que a maior é igual à menor mais 7, então somamos 7 a x.

z=x+7z = x + 7

De onde vem cada valor: zz = enunciado: maior aresta · xx = passo 1: menor aresta · 77 = enunciado: excede em 7 cm

z=x+7z = x + 7
NÃO CAIA NESSA!

Escrever z = x - 7, invertendo a relação.

Passo 3 — Usar a área da face menor

A face de menor área é formada pelas duas menores arestas, x e y. Como y = 8, a área x · y = 32 nos dá uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: A área de uma face retangular é o produto de suas duas dimensões. A face menor usa as duas menores arestas, que são x e y.

x⋅y=32x \cdot y = 32

De onde vem cada valor: xx = passo 1: menor aresta · yy = passo 1: intermediária = 8 cm · 3232 = enunciado: área da face de menor área = 32 cm²

x⋅8=32x \cdot 8 = 32
NÃO CAIA NESSA!

Usar a aresta intermediária como a menor, ou usar a face maior.

Passo 4 — Calcular a menor aresta

A equação x · 8 = 32 tem uma incógnita; dividimos os dois lados por 8 para isolar x.

Por que esta fórmula: Para isolar x, dividimos ambos os lados por 8, pois x está multiplicado por 8.

x=328x = \frac{32}{8}

De onde vem cada valor: 3232 = passo 3: área da face menor · 88 = passo 1: aresta intermediária

x=328=4 cmx = \frac{32}{8} = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar em vez de dividir, obtendo x = 256.

Passo 5 — Calcular a maior aresta

Com x = 4, usamos a relação z = x + 7 para achar a maior aresta.

Por que esta fórmula: Substituímos o valor de x na relação do passo 2.

z=4+7z = 4 + 7

De onde vem cada valor: 44 = passo 4: menor aresta · 77 = enunciado: excede em 7 cm

z=4+7=11 cmz = 4 + 7 = \boxed{11\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 7 à aresta intermediária (8 + 7 = 15) em vez da menor.

Passo 6 — Calcular o volume

O volume de um paralelepípedo é o produto das três arestas. Agora temos x = 4, y = 8 e z = 11, então multiplicamos.

Por que esta fórmula: O volume de um bloco retangular é comprimento × largura × altura, que são as três arestas.

V=x⋅y⋅zV = x \cdot y \cdot z

De onde vem cada valor: xx = passo 4: 4 cm · yy = passo 1: 8 cm · zz = passo 5: 11 cm

V=4⋅8⋅11=352 cm3V = 4 \cdot 8 \cdot 11 = \boxed{352\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar uma das arestas, ou usar a aresta errada.

Resposta: 352 cm³ (alternativa A)

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